Question

Геометрия. Теорема о пересекающихся хордах окружности.?

Вопросы к экзамену по геометрии для студентов первого курса.

Answer 1

Построим чертеж:

Пусть дана окружность. И в ней проведены две пересекающиеся в точке Е хорды AB и СD. Теорема о пересекающихся хордах окружности гласит следующее:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Иными словами, AE*EB=CE*DE

Доказательство очень простое:

Рассмотрим два треугольника ADE и CBE. У этих треугольников угол AED равен углу CEB так как эти углы вертикальные. А имеется теорема о вертикальных углах, которая говорит, что вертикальные углы равны.

Далее угол DAB равен углу BCD. Так как эти углы вписаны в окружности и опираются на одну дугу.

Следовательно данные треугольники подобны по признаку подобия треугольников по двум углам. Итак, треугольник ADE подобен треугольнику CBE. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Следовательно, AD/CB=AE/CE=DE/BE. Рассмотрим такое отношение:

AE/CE=DE/BE. Отсюда получаем, что AE*BE=CE*BE (получили по основному свойству пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции).

Вот и все доказательство.