Question

Как найти площадь прямоугольника через диагональ (формула)?

Answer 1

Прежде всего давайте вспомним свойства любого прямоугольника:

во-первых, он имеет две диагонали, и они будут между собой равны.

во-вторых, диагонали пересекаются и делятся между собой пополам.

По диагонали можно вычислить площадь прямоугольника. Только нужно знать следующие данные: длина диагонали и угол, который образуется между ними.

Площадь вычисляется по следующей формуле:

Answer 2

Площадь прямоугольника через диагональ

В прямоугольнике диагонали равны между собой. Если известен угол α между диагоналями (длина диагоналей равна d), то площадь прямоугольника можно найти по формуле:

Sпр = 0,5 * d² * sinα.

Например, если угол между диагоналями равен 30°, а диагонали равны 5 см, то площадь будет равна:

Sпр = 0,5 * 25 * 0,5 = 6,25 см.

<hr />

Если неизвестен угол между диагоналями, то будет нужно найти стороны прямоугольника. А затем воспользоваться формулой:

Sпр = a * b.

Как известно, диагональ прямоугольника делит его на 2 равных прямоугольных треугольника. Поэтому задача сводится к тому, чтобы найти катеты прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Кроме длины диагонали требуется знать либо одну из сторон прямоугольника, либо отношение сторон, либо угол между стороной и диагональю.

1) Если известна диагональ (пусть она будет равна d) и одна из сторон (например, b), то выражаем неизвестную сторону из формулы:

a² + b² = c² -> a = √(c² - b²).

Sпр = a * b = √(c² - b²) * b.

Например, если диагональ d = 5 см и сторона b = 3 см, то a = √(25 - 9) = √16 = 4 см.

Площадь прямоугольника равна 3 * 4 = 12 см.

2) Если известно отношение сторон, то задача сводится к нахождению обеих сторон через составление уравнения.

Например, если стороны относятся как 2:3, а диагональ равна 13 см, то можно составить уравнение:

(2x)² + (3x)² = 4x² + 9x² = 169.

13x² = 169.

x = √13.

Значит, a = 2√13 см и b = 3√13 см.

Площадь прямоугольника равна 2√13 * 3√13 = 6 * 13 = 78 см.

3) Если известна диагональ и один из прилежащих к диагонали углов, то нужно воспользоваться формулами:

a = d * cosβ (β - прилежащий угол) и b = d * sinα (α - противолежащий угол).

Например, d = 10 см и угол α = 30°.

a = 10 * cos30° = 10√3 / 3.

b = 10 * sin30° = 5 см.

Площадь прямоугольника равна 5 * (10√3 / 3) ≈ 28,33 см.

Answer 3

Как мы знаем у разных прямоугольников, то есть с разными сторонам a и b, может быть равная величина диагонали.Для примера представим треугольник Пифагор со сторонам 3, 4, и 5.Стороны 3 и 4 , а диагональ равна 5.При этой же диагонали, но со сторонами 2 и √(5^2-2^2)=√21=4,58 площадь будет равна 2*4,58=9,16.А в предыдущем примере площадь =3*4=12.То есть на наглядном примере показано, что только от величины диагонали площадь не зависит.А зависит от соотношения сторон прямоугольника.И чем ближе по величине стороны, тем площадь больше.То есть при одном и том же периметре величина площади максимальна у квадрата.И сама простая формула через диагональ это:

S=d*a*sin(<a,d)=d*b*sin(<b,d),

где a и b -стороны прямоугольника,d- диагональ прямоугольника.

Если провести небольшие преобразования, то получим площадь

S=d^2*sin(<a,d)*sin(<b,d)

Answer 4

Прямоунольником являятся четырехугольник у которого противоположные стороны равны, все 4 угла так же равные, а именно равны 90°.

Для нахождения площади прямоугольника через диагональ, необходимо так же знать длину любой его стороны.

Формула для определения площади прямоугольника через его диагональ:

S = a√d² - a² = b√d² - b²

Площадь прямоугольника равна длине его стороны умноженной на корень из разности диагонали в квадрате и той же стороны в квадрате.

Answer 5

Одной диагонали недостаточно, нужна еще одна сторона или отношение сторон. Например, при отношении сторон 1 к 1, то есть квадрате, площадь будет равна половине диагонали в квадрате. Все остальные прямоугольники с такой же диагональю будут иметь меньшую площадь.

Если неизвестны стороны, а известен угол между диагональю и одной из сторон, то можно с помощью теоремы синусов вычислить стороны. Скажем угол равен 30 градусов, значит противоположная сторона равна половине диагонали, а вторая сторона равна примерно 0,86 диагонали и площадь будет равна 0,43 квадрата диагонали, то есть произведению синусов углов на диагональ в квадрате. S=sinA*sinB*D*D, где S - площадь прямоугольника, А - угол между диагональю и одной стороной, В - угол между диагональю и другой стороной, D - диагональ.

Answer 6

Не совсем корректно поставлен вопрос, так как зная длину диагоналей прямоугольника, мы никак не сможем посчитать площадь. Если нам известна длина диагонали и угол между ними, то площадь прямоугольника считается по следующей формуле:

Если известна длина диагонали и сторона, то используем теорему Пифагора:

S = a*√(d^2-a^2)

Answer 7

Площадь прямоугольника S равна произведению длин его сторон S = а*h. Выразим стороны через диагональ d и угол между диагональю и большей стороной а = d*Sinβ, h = d*Cosβ, тогда S = (d^2)*Sinβ*Cosβ. Для квадрата S =(d^2)*(Sin45°)^2 = (d^2)/2.

Answer 8

Диагональ АС прямоугольника АВСД делит угол пополам (угол АСД = 45 градусов). Длину диагонали примем равной с, а катеты прямоугольного треугольника АД = в, СД = а. Найдем стороны прямоугольного треугольника из тригонометрических функций:

в/c = Sin 45^ , отсюда в= с*Sin 45^= c * 0,7074 ;

а/c = Cos 45^ , отсюда а = с * Cos 45= c* 0,7074.

Площадь прямоугольника S = a * в = С*С *О,5.

Answer 9

При определии площади прямоугольника через диагональ и угол между диагональю и большей стороной, нужно исходить из самого простого. А именно из того что площадь прямоугольника приравнивается к произведению его двух разных сторон.

S = a*o (а и о - стороны прямоугольника).

Теперь выражаем стороны через угол и диагональ, получаем а равно d*Sinβ; о равно d*Cosβ (d - диагональ).

Теперь подставляем в первоначальную формулу площади и получаем:

S = d*Sinβ*d*Cosβ = d^2*Sinβ*Cosβ

Площадь равна диагональ прямоугольника в квадрате умножить синус угла между диагональю и большей стороной умножить на косинус угла между диагональю и большей стороной.

Answer 10

Для вычисления потребуются исходные данные: длины диагоналей и угол между ними. Угол между диагоналями может быть как острый, так и тупой. Это объясняется тем, что синус тупого угла равен синусу острого угла, смежного с ним.

Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле:

где d - длина диагонали;

α - угол между диагоналями.