Question

Как найти площадь прямоугольника зная диагональ и периметр?

По какой формуле можно найти площадь прямоугольника, если известны диагональ и периметр?

Например: периметр прямоугольника 54 диагональ 26 как найти площадь?

Answer 1

Итак, надо найти формулу для нахождения площади через периметр и диагональ.

Пусть стороны прямоугольника будут а и в, диагональ Д, периметр Р.

Периметр находится по формуле:

Р=2(а+в) или Р=2а+2в

Отсюда:

а+в=Р/2 (1)

Возведём (а+в) в квадрат:

(а+в)^2=а^2+2ав+­<wbr />в^2=а^2+в^2+2ав (2)

Вместо (а+в) в левую часть выражения (2) подставим Р/2 из (1).

(Р/2)^2=а^2+в^2+2ав

(Р^2)/4=а^2+в^2+2а­<wbr />в (3)

Для диагонали запишем формулу исходя из теоремы Пифагора (половина прямоугольника разделённого диагональю - прямоугольный треугольник):

Д^2=а^2+в^2 (4)

Подставим (4) в (3):

(Р^2)/4=Д^2+2ав

Отсюда:

2ав=(Р^2)/4-Д^2;

2ав=((Р^2)-4(Д^2))/4­<wbr />;

ав=(Р^2-4Д^2)/4/­<wbr />2=(Р^2-4Д^2)/8 (5)

Площадь прямоугольника находится по формуле:

S=ав, следовательно, подставив вместо (ав) выражение (5), получим

S=(Р^2-4Д^2)/8

Теперь можно подставить цифры.

S=(54^2-4*26^2)/8=(2­<wbr />916-4*676)/8=(2916-27­<wbr />04)/8=212/8=26,5 (ед.^2)

Answer 2

Пусть стороны прямоугольника а и в.Тогда исходя из условий вашей задачи,имеем: 1) а+в=54:2=27 и

2) а^2+ в^2=26^2=676

Далее,найдём (а+в)^2=а^2+2ав+в^2=­<wbr />27*27=729.Отнимем 729-676=53.Это будет 2ав

То есть 2ав=53 или просто ав=26,5.Но ведь произведение сторон это площадь прямоугольника.Тогда S=26,5.

Можно теперь и общую формулу вывести: пусть Р- периметр,D- диагональ,S- площадь.Тогда получится следующее: S=(((P/2)^2-D^2)/2

Answer 3

Чтобы найти площадь прямоугольника, используя диагональ и периметр, вспомним формулы периметра прямоугольника через две стороны, формулу диагонали через две стороны и формулу площади прямоугольника.

Формула периметра прямоугольника: P = 2(a+b);

Формула диагонали прямоугольника: d? = a² + b²;

Формула площади прямоугольника: S = ab.

Теперь производим вычисления:

1) Сначала сократим выражение и преобразуем формулу диагонали через две стороны:

a² + b² = a² + b² + 2ab - 2ab = (a+b)² - 2ab = d²

2ab = (a+b)² - d?

2) Теперь используем формулу нахождения периметра:

(a+b) = P/2

(a+b)² = P² / 4

2ab = (P? / 4) - d²

3) Подставляем в формулу площади:

S = (P² / 8) - (d² / 2)

Остается подставить в формулу любые числовые значения в соответствии с задачей.