Question

Как решить простые тригонометрические уравнения?

Answer 1

Так как одновременно и синус и косинус не могут быть равны 0, то разделим обе части на cosx.

sinx/cosx = 1, tgx = 1, x = пи/4 + пи * n, где n - целое

Во втором уравнении sinx = tgx перенесем все в левую часть

sinx - tgx = 0

sinx * (1 - 1/cosx) = 0, т.е. либо sinx = 0, либо cosx = 1, откуда:

x1 = пи * n, где n - целое

x2 = 2пи * n, где n - целое, что является частным случаем первого решения

В третьем уравнении cosx = tgx также все перенесем в левую часть

cosx - sinx/cosx = 0, где cosx не равен 0,

умножим обе части уравнения на cosx

(cosx)^2 - sinx = 0, откуда (cosx)^2 = 1 - (sinx)^2

1 - (sinx)^2 - sinx = 0

sinx = (1 +- (1 + 4)^0.5)/(-2) = -0.5 +- 5^0.5 / 2

sinx1 = -0.5 - 5^0.5 / 2 < -1, следовательно корнем быть не может

sinx2 = -0.5 + 5^0.5 / 2

x = arcsin (5^0.5 / 2 - 0.5) + пи * n, где n - целое

Answer 2

Вот так:

<hr />

sin(x)=cos(x). Очевидно, что cos(x)=/=0, иначе было бы что и sin(x)=cos(x)=0.

Значит имеем право разделить обе части уравнения на cos(x). Получается tg(x)=1, х=Пи/4+Пи*k, где k - любое целое число.

<hr />

sin(x)=tg(x): ОДЗ х=/=Пи/2+Пи*k, где k - любое целое число.

sin(x)-tg(x)=0, sin(x)-sin(x)/cos(x)=0, sin(x)*(1-1/cos(x))=0,

Одна серия решений sin(x)=0, х=Пи*k, где k - любое целое число;

Вторая серия решений 1-1/cos(x)=0, В ОДЗ cos(x)=/=0, поэтому умножим на cos(x), cos(x)-1=0, cos(x)=1 х=0+2Пи*k, где k - любое целое число, это решение в ходит в серию х=Пи*k, где k - любое целое число.

<hr />

cos(x)=tg(x): ОДЗ х=/=Пи/2+Пи*k, где k - любое целое число, значит cos(x)=/=0.

Умножаем на cos(x), получаем cos^(x)=sin(x), 1-sin^2(x)=sin(x), sin^2(x)+sin(x)-1=0

Общее решение квадратного уравнения: sin(x)=(-1+-√5)/2.

Первый корень что sin(x)=(-1-√5)/2<1, т.е. этот корень квадратного уравнения не подходит.

Второй корень sin(x)=(-1+√5)/2. х=(-1)^k*arcsin((-1+√5)/2)+Пи*k, где k - любое целое число.