Быстро не получится. Доверять рекламе по бесплатному переносу на развивающийся движок я бы не стал. Не то, что бы не верю, просто неизвестно что да как с этим новым движком. Да и Вас, я думаю, интересует не какая-то никому неизвестная CMS, а вполне себе, что-то конкретное.
Последовательность действий такая.
Создаете готовый рабочий шаблон сайта без контента на новом движке. Расписываете что из старой БД пойдет в новую в виде "название старой таблицы", "поле" -> "название новой таблицы", "поле".
Ну и пишете скрипт для копирования одного в другое. Реализация скрипта будет зависеть от возможностей хостинга. При самом неблагоприятном стечении обстоятельств - разные хостинги с одной БД без права доступа к БД извне, - создаете в старой БД те же таблицы, что есть в новой и обычными запросами вида
"INSERT INTO `table_to` (`t1_2`, `t2_2`, `t3_2`, `t4_2`)
SELECT `t1`, `t2`, `t3`, `t4`
FROM `table_from`
WHERE `если нужно`"
копируете все что Вам нужно.
Потом делаете экспорт БД, открываете файл в текстовом редакторе, удаляете все старые таблицы, сохраняете и импортируете в БД с новым движком.
Статичные страницы скорее всего придется переносить вручную.