Очень просто. Сначала определяем область значений переменной x, при которых данные уравнения имеют смысл. Для логарифма нужно, чтобы выражение под его знаком было больше нуля. Таким образом, имеем системы неравенств:
1). 3x–11>0, x–27>0;
2). x²>0, (x+10)²>0.
Решением этих систем неравенств будет пересечение интервалов допустимых значений x для каждого из неравенств обоих систем:
(11/3,+∞)П(27,+∞)=(2<wbr />7,+∞), т. е. x>27 (для первой системы);
x≠–10, x≠0 (для второй системы).
Теперь можно решать заданные уравнения. Для этого обе части каждого из них пропотенцируем. Получим:
1). lg(3x–11)+lg(x–27)=l<wbr />g[(3x–11)•(x–27)]=3=> (3x–11)•(x–27)=10³=1<wbr />000, или
3x²–11x–81x+297=1000<wbr />=>3x²–92x–703=0=>x1=[<wbr />92–√((–92)²–4•3•(–703<wbr />))]/(2•3)=
=–19/3≈–6,3333<27,
x2=[92+√((–92)²–4•3 • (–703))]/(2•3)=111/3<wbr />=37>27.
Корень x1<27 и не удовлетворяет условию x>27, поэтому его отбрасывает;
2). lg(x²)+lg(x+10)²=lg[<wbr />x²•(x+10)²]=2lg11=lg1<wbr />1²=lg121=>x²•(x+10)²=<wbr />121, или [x•(x+10)]²–11²=[x•(<wbr />x+10)–11]•[x•(x+10)+1<wbr />1]=0=>(x²+10x–11)•(x²<wbr />+10x+11)=0;
полученное уравнение 4-ой степени раскладывается на два квадратных уравнения, которые легко решаются:
x²+10x–11=0=>x1,2=[–<wbr />10±√(10²–4•1•(–11))]/ (2•1)=–5±6, или x1=–5–6=–11, x2=–5+6=1;
x²+10x+11=0=>x3,4=[–<wbr />10±√(10²–4•1•11)]/(2•<wbr />1)=–5±√14, или x3=–5–√14≈–8,74, x4=–5+√14≈–1,26.
Все полученные корни удовлетворяют условиям x≠–10, x≠0.
<hr />
Ответ: т. о., решения заданных уравнений будут иметь вид:
для уравнения lg(3x–11)+lg(x–27)=3<wbr />=>x0=37;
для уравнения lg(x²)+lg(x+10)²=2lg<wbr />11=>x1=–11, x2=–5–√14≈–8,74, x3=–5+√14≈–1,26, x4=1.
