Question

Как решать логарифмические уравнения с перемноженными логарифмами?

log (4)[x+2]*log(4)[x-1]=2

Сразу оговорюсь, что ответ существует. Но как его получить математически?

Answer 1

Данное уравнение предлагаю решать методом интерполяции. Обозначим log (4)[x+2]= А, log(4)[x-1]=В, А*В=2, В=2/А, 4^А=х+2, 4^В=х-1 следовательно А больше В и 4^А-4^В=3. При равенстве А=В=1,41...,примем первоначально А=1,5 тогда В=1,(3). Вычисляем 4^1,5=8, 4^1,(3)=6,349..., 8-6,349=1,65... что меньше 3, поэтому берем А=1,6, тогда 4^1,6=9,189..., 4^1,25=5,65... и разница 3,5 больше 3 следовательно А будет больше 1,5 и меньше 1,6. Продолжая вычисления подобным образом достигаем хорошего приближения при А=1,5717, 4^1,5717=8,836, В=1,2725..., 4^1,2725=5,836, разница 2,9999... и х=8,836-2=6,836.

Answer 2

Увы, конкретно это - только численно.

Его легко привести к виду [x+2]^log[x-1]=16. Но уравнения, когда неизвестное фигурирует и "просто так", и под знаком транцендентной функции (логарифм, синус, экспонента...), в общем случае аналитичеки не решаются.

Answer 3

Преобразуем исходное уравнение log (4)[x+2]*log(4)[x-1]=2: 4^(x+2]*4^(x-1)=2. Перемножаем одинаковые числа в разных степенях сложив степени, получаем 4^(2*x+1)=2. Поскольку 2=4^(1/2) получаем 4^(2*x+1)=4^(1/2), следовательно 2*x+1=1/2, 2*x=-1/2, и ответ: х=-1/4. Проверяем: 4^[(-1/4)+2]*4^[(-1/4)-1]= 4^[1(3/4)]*4^[-1(1/4)]=4^(1/2)=2.