По-моему, это выражение пошло в народ с легкой руки юмористов, потому что по объему салатов раньше делали больше, чем сейчас. И не делали по пять салатов, а делали один - два и помногу. Это делалось из-за того, что семьи были больше и, чтобы самим хозяйкам в праздники немного отдохнуть от готовки.
А в тазиках их делали, естественно, не в тех, которых стирали. У живущих в частных домах и имеющих животных в хозяйстве, отдельные тазики были всегда. В них раскладывали мясо и другие продукты при заколе животных, засаливали сало. Были обязательно отдельные тазики для варки варенья. А, уж, какая у вас дома посуда - большая кастрюля или таз, кому какая разница. Главное, это посуда чистая и предназначена она для пищевых продуктов. Раньше это были, чаще всего, эмалированные тазики.
Так что, вполне возможно, что кто-то и делал в таких тазиках салаты.
Да, и с дизайном посуды раньше меньше заморачивались. Много было посуды в форме тазиков разных размеров. Вот, и пошло выражение, что строгать салаты в тазики.
Сейчас такое большое количество салатов уже не делают, поэтому тазики ушли в прошлое.