Сразу оговорка, полностью не развязал. Данное уравнение эквивалентно полиному 15-той степени (по прикидке). При разложении тангенса двойного и тройного аргумента, а так же используя формулу сложения аргументов тангенса у меня получилось что максимальная степень для tg(3x) -> (tg(x))^3; tg(5x)->(tg(x))^5; tg(7x)->(tg(x))^7.
Поскольку эти тангенсы перемножаются то максимальная степень всего уравнения будет (tg(x))^(3+5+7) = (tg(x))^15.
Отсюда видно, что уравнение имеет 15 корней, а поскольку тангенс - циклицеская ф-ция с циклом n*k, то точнее сказать 15 корней на промежутке (n-1)*k и n*k.
Уравнение пока не сложилось (где-то напутал с коэффициентами).
Что касается отрезка (-pi/14;pi/14) - то можно сказать, что на этом отрезке ф-ция f(x)=tg3x*tg5x*tg7x-tgx - непрерывна, причем с одной стороны значения отрицательны, с другой положительны. Отсюда вывод, что как минимум один корень на этом отрезке есть. Очевидный корень - 0.
Исследуя функцию на знак в округе корня 0 (границы ф-ции при x-> -0 и x-> +0) заметил, что знак ф-ции меняется. Получается, что знак ф-ции на отрезке (-pi/14;pi/14) меняется (-,+,-,+). Отсюда делаю вывод, что на этом отрезке корней минимум 3.
А вот какие корни - это надо развязать уравнение 15-той степени и посмотреть, какие из них лежат на заданном отрезке.
Написав программку которая ищет приближённое значение корня заданной ф-ции на отрезке (-pi/14;0) методом деления пополам отрезка и нахождения знака ф-ции на каждом конце отрезка, а потом, соответственно, поделив отрезок на котором наблюдается смена знака ещё на 2 и так до некоторой точности получил значение -0,087 радиан. Соответственно и 0,087 радиан. Или, если удобней, приблизительно -pi/36 и pi/36; В градусной мере приблизительно - 5 градусов (4,9847 градуса точнее).
Как-то так.
