Тут можно посоветовать одну вещь. Уяснить как соотносятся разные тригонометрические функции. Например, sin(60) = sqrt(3)/2 (sqrt - квадратный корень), тогда, зная соотношение sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1, можно легко найти, что cos(60) = sqrt(1 - (sqrt(3)/2)^2) = sqrt(1/4) = 1/2. Также tg(60) = sin(60)/cos(60) = sqrt(3)/2 / (1/2) = sqrt(3), а ctg(60) = 1/tg(60) = 1/sqrt(3). То есть зная несколько тригонометрических формул, можно из одного заученного значения угла вывести несколько других. Достаточно знать значения в 0, 30, 45, 60 и 90 градусах для одной из тригонометрических функций. Остальные могут быть легко "восстановлены". Если использовать формулы понижения степени, свойство периодичности, а также выражения для тригонометрических функций суммы и разности углов, то можно будет восстановить таблицу по трём значениям синуса sin(0) = 0, sin(90) = 1 и sin(30) = 1/2. По мере использования, таблица запомнится сама собой.
Находим модуль и аргумент данного комплексного числа:
|z| = (8^2 + 8^2)^0,5 = 8*2^0,5;
fi = arctg(8/8) = arctg(1) = 45°.
Следовательно, тригонометрическая форма данного комплексного числа:
z = 8*2^0,5(cos45° + i*sin45°).
Аналогично в случае z = a + bi:
z = (a^2 + b^2)^0,5(cos(arctg(b<wbr />/a)) + i*sin(arctg(b/a))).
Это производная тригонометрическая функция. Отношение косинуса к синусу.
Обозначим центр меньшей окружности точкой О1, большей - точкой О2. Через точки АО2 проведём прямую (осевую линию). Точки К и О1 тоже лежат на этой линии. Угол между осевой и касательной (будем рассматривать верхнюю) назовём альфа (а). Проведём из точки О1 прямую, параллельную касательной, до пересечения с начерченной линией радиуса R. Точку пересечения обозначим М.
Очевидно, что угол МО1О2 равен альфа. Из треугольника О1МО2 получаем sin(a)=(R-r)/(R+r)=1/27.
Из подобия треугольников О1МО2 и треугольников, образованных отрезками касательной и соответствующих радиусов получаем АО1=39*27, АО0-42*27, АК=39*27+39=42*27-42=39*28=42*26=1092.
Из треугольника АВК получаем АВ=АК/cos(a).
Обозначим центр описанной вокруг треугольника АВС окружности О. Соединим точку О с точками А и В.
Искомый радиус АО=ОВ=(АВ/2)/cos(a)=АК/(2*cos^2(a)).
Подставляя значения получаем искомый радиус равен 1092/(2*(1-(1/27)^2)=546*729/728=3*729/4=3^7/4=546,75.
При решении, конечно можно было бы обойтись и без привлечения тригонометрических функций, для решения задачи достаточно соотношения соответственных сторон подобных треугольников, но с привлечением тригонометрических функций выкладки выглядят намного компактнее.
Для начала проведём оси координат так, чтобы две из имеющихся точек лежали на этих осях.
Данный прямоугольник явно не максимальный и подобное построение делать не нужно, но зато будет более легко доступен ход обоснования максимальной площади.
Отрезок BD под углом Х к оси абцисс, отрезок АС под углом Y к оси абцисс, угол пересечения между отрезками AC и BD Z = X - Y
Площадь прямоугольника OPQR
S = OP * OR = (BD * sin X) * (AC * cos Y) = BD AC sin X cos (X - Z)
То есть площадь представлена в виде функции от одной независимой переменной Х, Сами отрезки и угол Z между ними заданы по условию.
Теперь ищем dS/dX = BD AC (cos X cos(X - Z)- sin X sin(X-Z) = BD AC cos(2X - Z) = 0
2X - Z = pi/2; X = (pi/2 + Z)/2
Теперь, скажем, у точки D строим угол X, через точку В проводим прямую, параллельную только что построенному лучу, из точек А и С опускаем перпендикуляры.
