Уж очень сложную задачу вы задали. Запишем ваше уравнение следующим образом
cos2x-sqrt(2)cosx-sin(3пи/2+4х)=0 (1)
Здесь sqrt(2) – квадратный корень из 2. Это сокращение от английских слов square root – квадратный корень. Такое обозначение часто встречается в Интернете.
Прежде всего, преобразуем выражение sin(3пи/2+4х). В тригонометрии есть формула sin(3пи/2+А)=sin(270°+А)=-cos(A). (Здесь вместо буквы А пишут греческую букву альфа, но БВ не воспринимает греческих букв, так же как и букву пи). Тогда sin(3пи/2+4х)=-cos(4х). Перепишем уравнение (1)
cos(2x)-sqrt(2)cos(x)+cos(4х)=0 (2)
Трудность состоит в том, что у нас разные аргументы 4х, 2х и х. Надо всё свести к одному аргументу. Сведем к х. Вспомним формулу для двойного угла
cos2A=2cos^2(A)-1 (3)
cos^2(A) – это cosA в квадрате. Тогда из (3) имеем cos4x=cos(2*2x)=2cos^2(2x)-1. Уравнение (2) преобразуется к виду
2cos^2(2x)+cos(2x)-sqrt(2)cos(x)-1=0 (4)
От 4х мы избавились, но осталось еще 2х. Используем снова уравнение (3), но теперь А=х. Имеем cos(2х)=2cos^2(x)-1. Преобразуем в уравнении (4) еще и выражение cos^2(2x)=cos(2х)*cos(2х)=4cos^4(x)-4cos^2(x)+1. Подставляем оба полученные здесь выражения в уравнение (4), получим такое уравнение 8cos^4(x)-8cos^2(x)+2+2cos^2(x)-1-sqrt(2)cos(x)-1=0. Кое что можно сократить, имеем
8cos^4(x)-6cos^2(x)-sqrt(2)cos(x)=0 (5)
Уравнение выглядит довольно сложно. Сделаем замену переменных
y=sqrt(2)cos(x) (6)
Тогда у^2=2cos^2(x) и у^4=4cos^4(x). Делаем замену в уравнении (5). Получим такое более простое с виду уравнение
2y^4-3y^2-y=0. Вынесем у за скобки. Получим у(2y^3-3y-1)=0. Отсюда сразу следует 2 уравнения
у=0 (7)
2y^3-3y-1=0 (8)
1) Уравнение (7) уже дает одно решение. Из (6) имеем cos(x)=0. Когда косинус равен нулю? Когда х=пи/2 и х=3пи/2. Подставьте эти решения в ваше уравнение (1) и убедитесь, что оно правильное.
2) Уравнение (8) – это уравнение третьего порядка. Такие алгебраические уравнения математически обычно не решаются. Преобразуем уравнение (8) к виду
у(2у^2-3)=1. (9)
Не так уж трудно просто догадаться, что у=-1 является решением этого уравнения. -1(2*1-3)=1. Но у дается уравнением (6). Тогда имеем cos(x)=-1/sqrt(2)=-sqrt(2)/2. Напомним, что sqrt(2) – это корень квадратный из 2. Косинус какого угла равен -sqrt(2)/2? х=-пи/4. Уравнение 3-й степени (9) должно иметь 3 корня. Разделите уравнение (9) на (у+1), получите квадратное уравнение
2y^2-2y-1=0 (10)
Решите уравнение (10) и получите еще 2 ответа для переменной у. Для решения квадратного уравнения есть известная формула. Определив у, из (6) найдете х. Желаю удачи. Очень длинное решение.
