Question

На каком из отрезке есть корни уравнения (1/9)^cosx=9? Почему? Как решить?

Answer 1

Для начала, решим данное уравнение, а потом посмотрим в какой из предложенных промежутков ответ подходит.

Приведём степени в обеих частях уравнения к одному основанию, например к основанию 9. Имеем:

9^(-cos(x))=9.

Если у равных степеней одинаковые основания, то показатели степеней так же равны:

-cos(x)=1;

cos(x)=-1, помним, что косинус это периодическая функция с периодом 2pi.

Получаем множество решений вида:

x=pi+2pi*n, где n принадлежит множеству целых чисел Z.

Итак, ответ мы получили.

Сразу видим, что варианты ответа "Г" и "Д" нам не подходят, так как эти отрезки не содержат в себе pi.

Для исследования остальных вариантов ответа перепишем ответ в более удобной форме (так как у нас n из множества целых чисел, то мы можем период 2pi "отматывать" и вперёд и назад. Отмотаем на 2pi назад один оборот. Получаем:

x=-pi+2pi*n, где n принадлежит множеству целых чисел Z.

Видим, что отрезки "А" и "В" не содержат в себе -pi, а отрезок "Б" как раз содержит в себе -pi, а значит удовлетворяет условию задачи.

Ответ: уравнение 9^(-cos(x))=9 имеет корни на отрезке [-5pi/4;-3pi/4].