Question

Сколько корней имеет уравнение 2^sinx=sin^2(x) на отрезке [0;2π]?

Answer 1

При х, изменяющемся от 0 до pi, sinx сначала возрастает от 0 до 1 при x = pi/2, а затем убывает до 0 при x = pi. При этом правая часть данного уравнения изменяется аналогично, только круче, а левая часть возрастает от 1 до 2 в середине интервала и затем убывает до 1 в конце интервала. Точек пересечения графики левой и правой частей уравнения не имеют. То есть на отрезке от 0 до pi данное уравнение корней не имеет.

На отрезке от pi до 2pi правая часть уравнения возрастает от 0 до 1 при x = 3pi/2, а затем убывает до 0 при x = 2pi. Но sinx сначала убывает от 0 до -1 при x = 3pi/2, а затем возрастает до 0 при x = 2pi. Значит, левая часть данного уравнения сначала убывает от 1 до 1/2 при x = 3pi/2, а затем возрастает до 1 при х = 2pi. Значит, графики левой и правой частей данного уравнения должны пересечься один раз при х из промежутка между pi и 3pi/2, и ещё раз при х из промежутка между 3pi/2 и 2pi. То есть на отрезке от pi до 2pi данное уравнение имеет два корня.

Ответ: (В) 2.

Answer 2

Можно решить данную задачу разными способами. Я предлагаю графический способ. Строим графики приведенных функций y=2^sin(x) и y = sin^2(x). Первая функция всегда принимает значения больше или равно 1, а вторая функция принимает значения от 0 до 1. Но значения равные 1 они принимают при разных х. Значения функции y=2^sin(x) равны 1 при х равным 0, пи и 2*пи, а значения функции y = sin^2(x) равны 1 при пи/2 и 3/2*пи. То есть графики этих функций на данном отрезке не пересекаются, а значит уравнение 2^sin(x) = sin^2(x) не имеет решения. Ответ: (А).