Question

Чему равна площадь треугольника АВС (см.)?

Хорда АВ стягивает дугу окружности равную 120 градусам. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом АD = 2, ВD = 1, DС = √2.

Answer 1

Чисто геометрическое решение (а пределах школьного курса геометрии) не нашёл, пришлось привлечь тяжёлую артиллерию (аналитическую геометрию).

Очевидно, что длина хорды АВ равна 3. Поскольку хорда АВ стягивает дугу в треть окружности, она является стороной вписанного в окружность равностороннего треугольника АВN, (где N - третья вершина). Значит радиус окружности равен 3/√(3)=√(3).

Обозначим центр окружности точкой О. Проведем радиусы ОА и ОВ. Получим равнобедренный треугольник ОАВ, с углами при основании 30°. Проведём в нём высоту ОК. Получим два прямоугольных треугольника ОАК и ОВК. Из них получаем, ОК =√(3)/2, АК=КВ=1,5. Тогда КD=0,5.

Если через центр окружности провести оси координат, так, чтобы хорда АВ была параллельна оси Х, то координаты точки D (0,5; √(3)/2).Составим уравнение окружности с центром в точке D с радиусом равным СD, т.е. √(2). (х-0,5)^2+(y-√(3)/2)^2=2 (1).

Уравнение окружности, в которую вписан треугольник АВN x^2+y^2=3 (2)

Решение системы уравнений двух окружностей даст нам координаты точки С.

{(х-0,5)^2+(y-√(3)/2)^2=2

{x^2+y^2=3

Раскрываем скобки в первом уравнении: x^2-x+0,25+y^2-y*√(3)+3/4=2

Подставим x^2+y^2=3, получим: 3-x-y*√(3)+1=2, x+y*√(3)=2.

Выразим х через у и подставим в уравнение (2):

х=2-y*√(3), (2-y*√(3))^2+y^2=3, 4-4*y*√(3)+3*y^2+y^2=3, y^2-y*√(3)+1/4=0,

y=√(3)/2 (+-)(3/4-1/4). Итак у(1)=√(3)/2+1/2, у(2)=√(3)/2-1/2.

У точки С координата у должна быть больше √(3)/2, т.е. подходящее решение у=√(3)/2+1/2.

Значит расстояние от точки С до хорды АВ (т.е. высота треугольника АВС, проведенная из токи с к основанию АВ = 1/2. Значит площадь треугольника АВС =3*(1/2)*(1/2)=3/4 или 0,75.

Answer 2

Из центра окружности О проведем радиусы ОА, ОВ, ОС и опустим высоту ОЕ на хорду АВ. Тогда ЕВ =1,5. Треугольник АОВ равнобедренный по условию, следовательно, угол АВО при основании равен 30⁰, в результате радиус окружности ОВ=cos30⁰/ЕВ = √3, ОЕ=(√3)/2, а ЕО=0,5. По теореме Пифагора ОD=√((√3)/2)^2+0,5^2)=1.

Как видим ЕD/ОD=1/2, откуда угол EOD=30⁰, тогда угол ЕDО=90⁰-30⁰=60⁰. Сумма квадратов катетов в треугольнике СОD равна квадрату гипотенузе(1+2=3), следовательно угол СDО прямой. В результате имеем угол CDF=90⁰-60⁰=30⁰. Определяем высоту треугольника АВС CF=CD*sin30⁰=√2/2. Вычисляем его площадь: S=AB*CF/2=3*(√2/2)/2=(3/4)* √2.

Есть вариант решения в общем виде, составлением двух квадратных уравнений с двумя неизвестными на основании прямоугольных треугольников CDF и СGО у которых есть общие неизвестные CF=х и FЕ=у. Обозначим для удобства известные отрезки: СD=а, FG=b, ЕD=c.

Используя теорему Пифагора, составим систему уравнений:

x²+(y+c)²=a²,

(x+b)²+y²=r²

Решая их относительно х, определим высоту треугольника.

Answer 3

Устная задача.

S = ½·AB·DC·sinADC = ½·3√2·sin30° = 3√2/4.

Answer 4

AO = R, АВ = 3 = R*√3 = AO*√3. Угол ЕАО = 30° поэтому ЕО = √(3)/2. ЕD = 0,5, тангенс угла ЕОD = ЕО/ЕD =√(3), а угла ЕОD = 60⁰. CD = √2 является стороной квадрата, поэтому угол СDО прямой, а угол CDF = 30°, поэтому СF = √(2)/2. Площадь треугольника АВС = АВ*СF/2 = 3*√(2)/4.