Если говорить непосредственно и исключительно о торговом названии минеральном воды, то её следует называть так и только так, как оно напечатано на этикетке. Например, на этикетке образца первой половины 19-го века, представленной Вами в вопросе. "Боржом". Мы не имеем права менять буквы в имени собственном, заключённом в кавычки и наверняка пишущемся с заглавной буквы.
Эту воду могли назвать, например, "Радничёк", "Ключек", "Тбилис", "Миннералка" и так далее. Названия могут противоречить нормам написания соответствующих нарицательных слов. Изготовитель этого товара всегда может объяснить, что его, например, "Тбилис" не имеет отношения к городу Тбилиси. Или имеет, но его товар - это не город, поэтому и названия разные.
Не могу точно сказать, в каком году появилось и название воды "Боржоми", но это уже другое название, которое также имеет право существовать:
_
Другой аспект этого вопроса заключается в написании названия грузинского города. Желательно и правильно писать Боржоми. Хотя в начале 20-го века модно было писать "Батум", "Кутаис" и так далее.