Question

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции?

Answer 1

Обычно, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции пользуются её производной. Для этого нужно взять первую производную от функции, приравнять её к нулю и найти значение, при котором эта производная обращается в ноль. Затем следует проверить знак производной при значениях больших и меньших полученного. Если до полученного нуля производной значение было отрицательное, а после этого нуля стало положительное, то нуль производной - этот точка минимума. Если же до этого нуля значение производной было положительно, а после стало отрицательно, то нуль производной - это максимум функции. На словах выглядит довольно размыто. Рассмотрим простой пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=х^2.

Найдём производную по переменной х. Имеем:

y'=(x^2)'=2x.

Приравниваем значение производной к нулю.

y'=0, 2x=0, x=0.

Получили точку х=0. Возьмём два значения слева и справа от полученного и проверим знак производной.

при х=-1 y'<0

при х=1 y'>0

Следовательно x=0 - точка минимума. Действительно, y=x^2 это парабола с центром в начале координат. Точка (0;0) есть минимальное значение функции. Максимального значения нет.

Answer 2

Это зависит от характера функции.

Для монотонных функций достаточно рассматривать крайние точки и точки доопредления.

Для не монотонных, обычно смотрят точки локальных экстремумов и перегибов (первая и вторая производные, соответственно).

Answer 3

Задача поиска минимума (или максимума) функции на практике превращается в решение задачи оптимизации. Задачи оптимизации на практике решаются методами математического программирования.

Залогом быстрого и красивого поиска минимума (или максимума) математической функции является правильная постановка задачи.