Так как хозяйке коврика принципиально было иметь коврик именно прямоугольной формы и неважно, какого размера (главное, чтобы не потерялась материя), то можно попробовать так:
разрезать коврик (точнее его остатки) вертикально пополам ровно посередине, а затем наложить полученные половины друг на друга и сшить между собой. Отрезанные углы будут покрыты целыми углами. В результате получится прямоугольный коврик размером 90 х 50 см.
Либо разрезать коврик горизонтально посередине на две половины и точно так же наложить их друг на друга. Получится коврик размерами 100 х 45 см.
Программа в начальной школе, конечно, не та, что было 20 - 30 лет назад. Взять хотя бы то, что раньше в школе учили читать и писать, а сейчас в школу принимают детей, которые уже должны уметь читать. Читать учат уже в детских садах. В школах мало уделяют времени выработке хорошего почерка. Так построена программа, что учитель не может долго сидеть на этом. Надо гнать программу. В министерстве образования считают, что надо прежде всего развивать творческое мышление, и неважно: разборчиво ребенок пишет или нет, правильно он соединяет буквы или неправильно. Получается, что наши дети умеют выполнять сложные задания, но ошибаются в простых. Например, даже выпускники допускают на экзаменах вычислительные ошибки. Надо вначале научить детей простому, потом браться за сложное.
Первое уравнение
y=lim[(7x-2)/(7x+3)]^(4x-7)=lim[A^(4x-7)] (1)
При х стремящемся к бесконечности. Получается 1 в степени бесконечность. То есть «в лоб» не решается. Надо преобразовывать выражение. Сначала преобразуем выражение
А=(7x-2)/(7x+3) (2)
Разделим числитель и знаменатель на 7х. А=(1-2/7х)/(1+3/7х). В математике есть формула, что при а<<1 (а много меньше 1) 1/(1+а)=1-а. У нас 2/7х<<1, так как х бесконечно велико. Тогда имеем 1/(1+3/7х)=1-3/7х. Тогда имеем А=(1-2/7х)/(1+3/7х)=(1-2/7х)*(1-3/7х)=1-2/7х-3/7х+6/49х^2. При очень больших значениях х последним слагаемым пренебрегаем. Имеем А=1-2/7х-3/7х=1-5/7х. Теперь надо найти величину А^(4x-7) в уравнении (1), где А см. уравнение (2). Имеем А^(4x-7)=(1-5/7х)^(4x-7)=(1-5/7х)^4x, так как 4х много больше, чем 7. Для того чтобы найти В=А^(4x-7)=(1-5/7х)^4х, проще сначала найти логарифмы этих выражений. lnB=4x*ln(1-5/7х). В математике есть формула, что при малых значениях с ln(1-с)=-с. Тогда lnB=4x*ln(1-5/7х)=4х*(-5/7х)=-20/7. Тогда В=е^(-20/7)=exp(-20/7).
Ответ у=limB=е^(-20/7)=exp(-20/7).
Второе уравнение
y=lim[cos^2(x)-cos^2(2x)]/x^2 (1)
При х стремящемся к нулю. Из математики известно, что при маленьких значениях х имеют место формулы: sinx=x. Тогда sin^2(x)=x^2. Нам надо косинусы свести к синусам. Мы знаем из тригонометрии формулу sin^2(x)+cos^2(x)=1. Отсюда cos^2(x)=1- sin^2(x)=1-х^2. cos^2(2x)=1-(2x)^2=1-4x^2. Получим cos^2(x)-cos^2(2x)=1-х^2-1+4x^2=3x^2. Подставляем в наше уравнение (1). Имеем у=3.
Ответ у=3.
Линейная окружная скорость концов стрелок определяется по формуле v = ω*R, где ω угловая скорость, R длина стрелки. Отношение окружных скоростей секундной и минутной стрелки vс/vм = (ωс/ωм)*(Rс/Rм). ωс/ωм = 60, Rс/Rм = 1,2, тогда vс/vм = 72.
Интересная задача. Попробуем для начала включить логику и поработать от противного:
- работая все вместе, одновременно и одинаковое количество времени, насосы наполнят бак водой за 0,5714 часа (24 / (10 + 12 + 20)) - это минимальное вообще возможное значение времени наполнения бака для данной задачи;
- при этом температура воды в баке будет (10 * 20 + 12 * 40 + 20 * 80) / (10 + 12 + 20) = 54,286 градуса - почти та, что нужно, немного холоднее, чем нужно;
- т. е. воду в баке нужно чуть подогреть, что, очевидно, проще и целесообразнее сделать, чуть раньше отключив насосы 1 и 2, чтобы насос 3 с температурой воды в 80 градусов поработал чуть дольше - именно он обладает максимальной производительностью, да и воду нужно нагреть, а не охладить; можно отключать и только насос 1 - как наименее производительный и дающий самую холодную воду;
- с этим уже можно работать, хоть и в очень узких пределах, так как изменение температуры требуется очень небольшое.
- тут еще от требуемой точности все зависит, конечно - точности температуры и объема.
Ну, например (подбирал тоже в Экселе) работа насосов 0,5451, 0,5714 и 0,5846 часа соответственно даст 23,9998 кубометра воды с температурой 54,9443 градуса - очень близко к требуемому.
А общее время работы системы определяется работой самого долго работающего насоса - т. е. 0,5846 часа, или примерно 35 минут и 5 секунд :-).
