Question

Как решить задачу о наименьшем времени наполнения котла водой?

Для приготовления пивного сусла в заторный котел набирают 24 м³ воды температурой 55°С. Вода в котел подается по трем разным трубопроводам с температурой 20, 40 и 80 градусов. На каждой водяной линии установлен насос, имеющий соответственно производительность: 10, 12 и 20 м³/час.

Следует определить наименьшее время наполнения котла водой, комбинируя варианты включения насосов.

Answer 1

Интересная задача. Попробуем для начала включить логику и поработать от противного:

• работая все вместе, одновременно и одинаковое количество времени, насосы наполнят бак водой за 0,5714 часа (24 / (10 + 12 + 20)) - это минимальное вообще возможное значение времени наполнения бака для данной задачи;
• при этом температура воды в баке будет (10 * 20 + 12 * 40 + 20 * 80) / (10 + 12 + 20) = 54,286 градуса - почти та, что нужно, немного холоднее, чем нужно;
• т. е. воду в баке нужно чуть подогреть, что, очевидно, проще и целесообразнее сделать, чуть раньше отключив насосы 1 и 2, чтобы насос 3 с температурой воды в 80 градусов поработал чуть дольше - именно он обладает максимальной производительностью, да и воду нужно нагреть, а не охладить; можно отключать и только насос 1 - как наименее производительный и дающий самую холодную воду;
• с этим уже можно работать, хоть и в очень узких пределах, так как изменение температуры требуется очень небольшое.
• тут еще от требуемой точности все зависит, конечно - точности температуры и объема.

Ну, например (подбирал тоже в Экселе) работа насосов 0,5451, 0,5714 и 0,5846 часа соответственно даст 23,9998 кубометра воды с температурой 54,9443 градуса - очень близко к требуемому.

А общее время работы системы определяется работой самого долго работающего насоса - т. е. 0,5846 часа, или примерно 35 минут и 5 секунд :-).

Answer 2

Хорошо, я пошутил в первом ответе. А если серьёзно, то думаю, так.

Равные пропорции воды в +20°С и в +40°С дадут воду в +30°С. А вот равные пропорции воды в +30°С и воды в +80°С дадут как раз воду в нужные +55°С. Таким образом, смешивая по одной части воды в +20°С и воды в +40°С, а также две части воды в +80°С, получаем четыре части воды в +55°С.

Нужные нам 24м³ воды дают нам объём одной части воды в 6м³, а две части - в 12м³.

И так, 6м³ первый насос закачает за 0.6 часа, второй насос за 0.5 часа, а 12м³ третий насос закачает за те же 0.6 часа. Таким образом, за 0.6 часа (36 мин) будет закачан весь бак нужной температуры воды.

Answer 3

Дано: Т=55,Т1=20 ,Т2=40 ,Т3=80 и производительность Р1=10, Р2=12, Р3=20

Время соответственно х1,х2,х3.

Составим равенства:

1) 10*х1+12*х2+20*х3=24 или

сократив 5*х1+6*х2+10*х3=12

2) 10*х1(Т-Т1)+12*х2(Т-Т2)=20*х2(Т3-Т)

получим 350*х1+180*х2=500*х3

сократим 35*х1+18*х2-50*х3=0

Произведя различные действия над равенствами,получим следующие соотношения:

5*х1+4*х2=5

2*х2+10*х3=7

5*х1+9=20*х3

По этим соотношениям выходит что х1 может варьировать от 0 до 1,

х2 может варьировать от 0 до 1,25 минуты.

Попробовав взять различные значения х1 и х2 согласно равенства 5*х1+4*х2=5 и находя потом х3

у меня везде получается одинаковое время 1,7 часа.

Answer 4

А оптимален ли тот, предложенный мною вариант решения? А что если изменить пропорции, так, чтобы более медленные насосы работали меньше, а более производительный насос - дольше?

В первом варианте у меня была пропорция 1:1:2, на сколько нужно уменьшить часть самой холодной воды (+20°С) и самой горячей (+80°С), а увеличит часть воды средней температуры (+40°С) чтобы общая температура оставалась прежней +55°С?

Ну, например, пропорция 0.9 : 1.1 : 1.92 даёт максимальное время работы одного из трёх насосов в 0.59 часа, что уже лучше, чем первое решение.

А вот пропорция 0.89 : 1.1 : 1.906 уже даёт улучшенное время в 0.5871 часа.

Можно так извращаться и далее (я рассчитывал это в аналоге экселя), увеличивая точность пропорций всё более и более. И какому технологу это нужно - сидеть с электронным секундомером возле этих кранов?

Answer 5

Дано:необходимая Т=55,из Т1=20,Т2=40,Т3=80 и производительность насосов Р1=10,Р2=12,Р=20.

24/42=0,57 часа, если тремя насосами.

Узнаем среднюю температуру воды от трех насосов

80°*1м³+40°*0,6м³+20­<wbr />°*0,5м³=2,1м³*°

°=(80+24+10)/2,1=114­<wbr />/2,1=54,3°температур­<wbr />а трех потоков.

Если рабтают два насоса

80°*1+40°*0,6 = 1,6*°

°=(80+24)/1,6 = 104/1,6 =65,0°температура двух потоков.

Среднея температура этих двух случаев (при равных объёмах).

54,3°*v1+65,0°*v2= x*(v1+v2);119,3=2x

119,3/2=59,65°.Это выше чем нам надо.

Нам нужно 55°,тогда работа тремя насосами будет дольше,т.е.

v1>v2.При этом v1+v2=24. Определим соотношение объемов с учетом температур потоков воды из равенства.

54,3*v1+59,65*v2= 55*24=1320

V1=24-v2.

54,3*24-54,3*v2 +59,65*v2 =1320

5,35*v2 =1320-1303,2= 16,8

v2=16,8:5,35=3,14; v1 =24-3,14 =20,86

V1 - количество воды закаченое тремя насосами.

v2- тоже,двумя насосами (без маленького).

V1 =(20+12+10)*t1=20,86­<wbr />. (t1 - время работы трех насосов)

t1=20,86:42=0,4966 =0,5

v2 =(20+12)*t2 =3,14. (t2 -время работы двух насосов)

t2 =3,14:32 = 0,098 =0,1

Минимальное время будет

T =t1+t2=0,5+0,1=0,6ча­<wbr />са=36 минут.

Answer 6

Трудная задача, столько параметров, как минимизировать?

Думаю, так, что нужно запустить самый мощный насос, набрать им за 1.2 часа (72 минуты) нужные 24 тонны воды температурой +80°С и пойти передохнуть, пока вода не остынет до нужных +55°С, ведь в задача не говорилось о минимизации по времени всего технологического процесса приготовления пива, а лишь о наполнении котла. Никто, из предложивших иное решение не наполнит котёл быстрее, чем за 72 минуты :^)

Answer 7

Добавляю 2 ответ.Продолжение.

Просто я понял что минимальное время заполнения котла - это время работы одного из трех насосов( имею ввиду максимальное время)

Находим :

У нас х1+х2+х3=1,7 часа

Я построил в некотором роде таблицу для х1. х2 и х3.

Из таблицы с некоторой степенью точности получается обведенное значение времени 0 58625

Answer 8

Из уравнения теплового баланса определяется температура для объемов воды

t = (V₁t₁ + V₂t₂)/(V₁ + V₂) (1).

Три насоса при общей производительности 42 м³/час наполнят котел водой температурой 1140/21 градуса (≈ 54⁰,2857), что несколько ниже требуемой. Следовательно, нужно наполнить тремя насосами котел водой до объема V₁ при t₁ =1140/21 градуса, и долить в него более горячую воду температурой t₂ и объемом (24 - V₁). Логически, более подходит долить воду при варианте одновременно включенных втором и третьем насосах - наибольшая производительность при более высокой температуре t₂ = 65⁰. Подставляем значения в уравнение (1) и решаем относительно неизвестной V₁

55 =( V₁*1140/21 + (24 - V₁)*65)24,

V₁ = 22,4 (м³), (24 - V₁) = 1,6 (м³).

Вычисляем время работы насосов

22,4/42 + 1,6/32 = 7/12 часа (35 минут).