Сколько существует вариантов доказательства теоремы Пифагора?
4 ответа:
Есть мнение, что эта теорема не была открыта Пифагором, и ему - приписывают доказательство, которое, на самом деле сделал Евклид.
А на сегодня известно более 500 различных доказательств этой теоремы: геометрические, алгебраические, механические (и т.д.), что свидетельствует о величайшем значении Теоремы Пифагора, которая широко применяется не только в геометрии.... И, зная теорему Пифагора можно находить новые и новые способы её - доказательства.
Но, Автор вопроса сама всё рассказала, а так как в школе у меня с точными науками было... не очень, (гуманитарий, я!), поэтому приведу только одно доказательство, (оно же и простейшее!), и, скорее всего, с него, вероятно и начиналась сама теорема Пифагора. И, достаточно - просто взглянуть на "мозаику" из сложившихся равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в том, что теорема - справедлива, и доказательство в нашем случае получаем, имея равнобедренный прямоугольный треугольник, где для треугольника АВС, построенный на гипотенузе АС, квадрат - содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. (Уфф! Вот, теорема и доказана.)
Существует около 500 доказательств теоремы Пифагора, я приведу лишь несколько, особенно мне понравившихся и запомнившихся. В школе, я знала около 30-ти доказательств. Особенно мне нравились "Стул невесты и кладка паркета".
Китайское доказательство за 1000 лет до нашей эры.
А это "Бабочка или Стул невесты"
"А вот и кладка паркета"
Доказательство Гофмана
В заключение скажу, что я тоже изобрела какое-то доказательство, но в то время компьютеров не было и я не знала всех. Возможно оно уже существовало и поэтому приводить его здесь не буду. К тому же я уже не помню на каких листках, в блокноте или в какой общей тетради оно записано, нарисовано.
Я вечно всё путала и в каком-то классе на экзамене по математике привела собственное доказательство решения выражения. Учительница была фанатом математики и сказала, что такое доказательство не применяется несколько тысячелетий, есть гораздо проще, и показала его мне.
Но пятёрку я всё равно заработала. Она поняла, что я не хотела блеснуть знаниями, а наоборот дошла в критической ситуации (годовой экзамен всё таки) до решения сама.
Стоило мне более суток окунуться в глубокие дебри геометрии.
Вы понимаете, что развёрнутому ответу с описанием всех возможных доказательств теоремы Пифагора можно было бы уделить отдельный ресурс и посвятить книгу. Геометрия, тригонометрия, алгебра - точные науки, как и бухгалтерия свода копейки к копейке, предполагают такое множество выведенных формул и пропорций, что применив их возрастает количество комбинаций как доказательств.
Теорема пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Возьмём прямоугольный треугольник, в котором один угол прямой, т.е. = 90°.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.
Итак, теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
A² + B² = C²
Это утверждение одно из основных в геометрии, на котором построено множество вычислений, и на основе которого строятся даже здания и передаются данные GPS. Теорема названа в честь гревнеческого философа и математика 6 столетия до н.э. Однако свою известность теорема получила более чем через тысячу лет. Вавилонская глиняная табличка содержала в себе 15 наборов чисел, удовлетворяющих условию этой теоремы.
Некоторые историки считают, что теорема была придумана ещё древними египтянами, использующими набор цифр 3, 4, 5. Эта теория основана на том, что в распоряжении геодезистов находилась верёвка с 12 промежутками, где узлы завязаны через равные промежутки. Из этой верёвки можно было сформировать треугольник со сторонами, где количество промежутков каждой стороны удовлетворяло бы этим цифрам.
Притом такой треугольник получился бы прямоугольным.
Ранняя индийская запись, датированная между 800 и 600 годами до н.э. утверждает, что длина верёвки, растянутой по диагонали квадрата может послужить новой стороной для квадрата в два раза больше начального.
Вот где прослеживается связь с теоремой Пифагора.
Но это не доказывает, что теорема выполняется для каждого прямоугольного треугольника на плоскости. Мы должны просто поверить древним геодезистам? Нет, мы знаем множество способов доказательства данной теоремы. Сегодня теорема Пифагора насчитывает около 500 возможных, включая глупые доказательства. Из них до 350 вполне достойны гениальности.
Такие доказательства построены на математических законах и логике.
________________<wbr />_________________<wbr />_________________<wbr />___
1.Классическое доказательство теоремы Пифагора заключается в перестановочном способе.
Возьмём четыре прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c.
Расположим их так, чтобы гипотенузы образовали квадрат.
Ясно, что на полученной плоскости, площадь такого квадрата равна c².
Теперь сделаем из треугольников два прямоугольника, направив меньшие катеты друг к другу.
Площади получившихся квадратов равны a² и b².
И вот, в чём весь смысл. Общая площадь фигур не изменилась при одинаковых площадях треугольников.
Следовательно, пустые области на равной площади равны. То есть, c² = a² + b².
2.Ещё одно доказательство принадлежит Евклиду, на которое почти 2000 лет наткнулся и 12-летний Эйнштейн. Нам понадобится один большой треугольник и два меньших, из которых он состоит. В этом случае один большой прямоугольный треугольник делится на два других (под прямым углом).
Используется принцип, что если соответственные углы треугольника равны, то соотношение их сторон также равно.
Для трёх подобных треугольников мы можем написать соотношение их сторон.
Теперь раскроем пропорции: AC² = BC × DC и AB² = BC × BD.
Сложим одинаковые части AC² + AB² = BC × (DC + BD).
Видим, DC + BD является гипотерузой BC исходного треугольника, следовательно DC + BD = BC.
Отсюда, AC² + AB² = BC² или A² + B² = C².
3.Более современное доказательство при тиселяции — повтора геометрического рисунка для наглядного визуального доказательства.
Пояснение.
Возьмём прямоугольный треугольник. У нас есть три ключевых элемента:
1)чёрная площадь со стороной равной длине одного катета (a).
2)серая площадь со стороной равной длине другого катета (b).
3)большая площадь синего квадрата, являющегося квадратом гипотенузы (c, d).
Чёрная и серая площади закономерно укладывются в большую площадь синего квадрата. При внимательном рассмотрении замечаем, что каждый синий квадрат вмещает ровно все составные площади для целого серого квадрата (одного катета) плюс площади для целого чёрного квадрата (другого катета). Ни больше, ни меньше.
4.Ещё один оригинальный способ доказательства, заключается в наполнении ёмкостей жидкостью. Можно попробовать соорудить вращающийся механизм, где к трём граням вала прямоугольного тетраэдра прикрепить равные по толщине квадратные ёмкости, и начать вращать вал. Жидкость начнёт вытекать из большей ёмкости в две меньшие, и ровно войдёт в обе, заполнив их.
Наша школьная учительница по математике на уроке заявила, что нашла очередной способ доказательства теоремы Пифагора. Беда в том, что дело было 20 лет назад.
Теорема Пифагора известна нам со школьной скамьи. Выражение " Пифагоровы штаны во все стороны равны" стало крылатым. В школьной программе мы изучаем только один вариант доказательства теоремы Пифагора.
Наиболее древнее доказательство теоремы Пифагора было найдено еще в Древнем Китае.
Затем знаменитую теорему доказали древние индусы
Наиболее простой способ доказательства теоремы называется метод Простейших ,он основан на рассмотрении фигуры равнобедренного треугольника.
Так же существует старейшее доказательство :
В 1882 году Гардфилд так же доказал теорему
Доказательство Евклида сомое простое и наглядное.
Таким образом на данный момент известно 6 вариантов доказательства теоремы
Читайте также