Как известно, площадь круга вычисляется по формуле:
C = πR².
То есть нам в любом случае нужно знать радиус.
Существует специальная формула нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
Здесь a и b - это катеты, а c - это гипотенуза.
В условии задачи даны только катеты, а для нахождения гипотенузы можно использовать теорему Пифагоа:
a² + b² = c². => c = √(a² + b²)
Таким образом:
r = (a + b - √(a² + b²)) / 2.
C = π * (a + b - √(a² + b²))² / 4.
**
Например, катеты равны 3 и 4 см.
Найдём гипотенузу: √(3² + 4²) = √25 = 5 см.
Найдём радиус: r = (3 + 4 - 5) / 2 = 1 см.
Площадь круга будет равна:
C = πR² = 3,14 * 1 = 3,14 см².
Проведите из двух углов шестиугольника лини к центру описанной окружности. Эти линии у Вас будут равны R. Вместе со стороной шестиугольника две таких линии создадут треугольник, у которого две стороны равны R, а третья сторона равна стороне правильного шестиугольника. Угол этого треугольника, который находится напротив стороны шестиугольника равен 360/6 = 60 градусов. Два других угла треугольника равны 180 градусов -60 = 120 градусов. А если эти два угла одинаковы,так-как они образованы радиусами, то каждый из них равен 120/2 =60 градусов.
Следовательно, мы имеем треугольник у которого все внутренние углы равны друг другу и равны 60 градусов. А из этого следует, что наш треугольник является равносторонним треугольником. Но, если в равностороннем треугольнике хотя-бы одна сторона равна R, то и все остальные стороны равны R.
А у нас целых ДВЕ СТОРОНЫ треугольника РАВНЫ R!!!!! Так чему же тогда будет равна третья сторона??? Та сторона, которой является стороной правильного шестиугольника? разумеется она может быть равной только R. Других вариантов просто нет.
Такая поверхность получила название "тор", геометрия не очень его изучает, а аналитическая геометрия подробно ее описывает с формулой и прочими подробностями.
Большая диагональ "D" правильного N-угольника выражается через его апофему "a" очень простой формулой: D=√(2+2a). Например, апофема правильного пятиугольника равна Cos36°, тогда D5= √(2+2Cos36°)=1,902110... .
Строим произвольный треугольник АВС с катетами а и b, гипотенузой с. Впишем в него окружность диаметром D с центром в точке О. Через точку О проведем В₁С₁||ВС .Тогда расстояние от северных ворот до дерева В₁Е = m, от южных ворот на запад - С₁А = n. Диаметр окружности D, вписанный в прямоугольный треугольник, определяется формулой
D = а + b – c (1).
Тогда согласно рисунку
b = n + D/2 (2),
с = √(а² + b²) (3),
C₁B₁ = m + D.
На сновании подобия треугольников АВС и АВ₁С₁
a/(n +D/2) = (m +D)/n, откуда
a = (n +D/2)*(m +D)/n (4).
После подстановки в формулу (1) выражений (2), (3), (4) и преобразований относительно D, получаем кубическое уравнение в общем виде
D³ +m D² - 4n²m = 0 (5).
Пусть m = 1 (единичному отрезку), тогда n = 3, согласно условию.
В результате после подстановки значений имеем
D³ + D² - 36 = 0.
Решение уравнения очевидно в данном представлении
D³ + D² = 3³ +3²,
D = 3.
Искомый диаметр города 300*3 = 900 (шагов), а треугольники АВС и АВ₁С₁египетские.
Данное кубическое уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки, как и знаменитые задачи древности, трисекции угла и удвоение куба. Указанными инструментами решаются уравнения первой и второй степени.
