Итак.
Дано: MN / BD = 1/2
Далее за угол A будем обозначать угол BAD.
Заметим, что угол BMN = угол BNM (симметрия).
Найдём угол MBN. Что бы не писать слово "угол", дальше использую знак _.
_ABM = 90 - _BAM = 90 - _A.
_CDN = _ABM (симметрия) = 90 - _A.
_ABC = 180 - _A
_NBM = _ABC - _ABM - _NBC = (180 - _A) - 2 (90 - _A) = _A. Запомним это.
Итак, _NBM = _DAB и AB/AD = 1 = BM/BN. Тогда треугольники DAB и NBM подобны.
Отсюда следует, что AB/BD = BM/MN.
А по условию MN/BD = 1/2.
Заметим, что треугольник ABM -- прямоугольный, и sin_A = BM/AB.
Найдём BM/AB = BM/MN * MN/AB = BM/MN * MN/BD * BD/AB =
= (BM/NM * BD/AB) * MN/BD = 1 * 1/2 = 1/2
Отсюда sin_A = BM/AB = 1/2. Тогда угол A равен 30 градусам. Соответственно, угол B ромба равен 180-30 = 150 градусам.
Да, если это квадрат. Уточни в учебнике является ли квадрат частным случаем ромба.
Докажем векторным способом.
1. Найдём координаты векторов CD, DE, EF, CF. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координаты точки конца вычесть соответствующие координаты точки начала.
CD={3;3}, DE={2;-2}, EF={-3;-3}, CF={2;-2}
2. Поочерёдно перемножим скалярно векторы: если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны:
CD * DE = 3*2 + 3*(-2) = 6-6=0
DE * EF = 2*(-3) + (-2)*(-3) = -6+6=0
EF * CF = -3*2 + (-2)*(-3)=-6+6=0
CF * CD = 3*2 + (-2)*3=6-6=0
3. Все 4 скалярных произведения равны нулю, а значит точки C, D, E, F являются вершинами прямоугольника, что и требовалось доказать.
Треугольник равнобедреннный, а в таких треугольниках 2 стороны всегда равны. Так как треугольник тупоугольный, то это значит, что сторона, лежащая напротив тупого угла самая большая по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Из условия следует, что нам нужно найти меньшую сторону, то есть равные стороны:
x+17+x+x=77
3x+17=77
3x=60
x=60:3=20см.
Ответ:20 см