c=5x, a=3x, b=8
c^2= a^2 +b^2 <=> 25x^2= 9x^2 +64 <=> x=√(64/16)=2
a=2*3=6
S= ab/2 =6*8/2 =24
Или
Дан египетский треугольник, 3:4:5, множитель k=8/4=2.
S=6k^2 =6*4=24
Попробую, хотя я не люблю геометрию.
1) Длины дуг относятся как 3 : 5, пусть их длины равны 3x и 5x.
Длина окружности C = 2pi*R = 8x
x = pi/4*R
L(AB) = pi*R*a/180 (где а - это угол дуги) = 3x = 3pi/4*R
a = AOB = 3/4*180 = 135°
L(BMA) = pi*R*b/180 = 5x = 5pi/4*R
b = 5/4*180 = 225°
Угол OBC = 90° (радиус всегда перпендикулярен к касательной).
Треугольник AOB - равнобедренный, поэтому
угол OBA = (180° - 135°)/2 = 45°/2 = 22,5°
Угол ABC = 90° - 22,5° = 67,5°
2) Окружность состоит из частей длиной 2, 3, 9 и 6.
Я ее изобразил на 1 рисунке. Требуется найти углы ANB и BMC.
Длина окр. C = 2pi*R = (2+3+9+6)*x = 20x
x = pi/10*R
Длины дуг: AB = 2x = 2pi/10*R; BC = 3x = 3pi/10*R; CD = 9x = 9pi/10*R;
DA = 6x = 6pi/10*R
Углы: AOB = 2pi/10 = 36°; BOC = 3pi/10 = 54°; COD = 9pi/10 = 162°;
DOA = 6pi/10 = 108° .
Заметим, что AOC = AOB + BOC = 36° + 54° = 90°
В треугольнике ANB углы NAB + ABN + ANB = 180°
Треугольники внутри круга все равнобедренные, поэтому:
OAB = OBA = (180° - AOB)/2 = (180° - 36°)/2 = 72°
OAD = ODA = (180° - DOA)/2 = (180° - 108°)/2 = 36°
ODC = OCD = (180° - COD)/2 = (180° - 162°)/2 = 9°
OCB = OBC = (180° - BOC)/2 = (180° - 54°)/2 = 63°
Угол NAD = 180° = NAB + OAB + OAD
NAB = 180° - OAB - OAD = 180° - 72° - 36° = 72°
Угол NBC = 180° = NBA + OBA + OBC
NBA = 180° - OBA - OBC = 180° - 72° - 63° = 45°
Угол MCD = 180° = MCB + OCB + OCD
MCB = 180° - OCB - OCD = 180° - 63° - 9° = 108°
Угол MBC = NBA = 45°, потому что это вертикальные углы.
Наконец, добрались до главных углов:
CMB = 180° - MBC - MCB = 180° - 45° - 108° = 27°
ANB = 180° - NBA - NAB = 180° - 45° - 72° = 63°
Главное - внимательно следить за углами, что с чем складывается.
3) Эту задачу я изобразил на рисунке 2.
Она намного проще.
Угол OAC = OAD = 90° (касательная перпендикулярна к радиусу)
Треугольник AOB - равносторонний (AB = AO = OB = R)
Угол OAB = 60°
Угол между хордой и касательной
BAD = OAD - OAB = 90° - 60° = 30°
Решать можно двумя способами
1) прямоугольник( соответственно и его половина - прямоуголный 3-уг) имеет наибольшую плошадь при равенстве сторон , т.е. квадрат. Это если мы это знаем. Тогда катеты его равны между собой и равны ( по т. Пифагора, по синусу-косинусу, разное можно предложить )
например
2) если мы этого не знаем, тогда пусть одна сторона будет х, тогда другая будет
берем производную, приравниваем к 0 (находлим экстремум). В результате находим Х, который равен тому, что в 1) другая сторона такая же (тоже ее находим по т. Пифагора))
1) угол ВАС-вписанный, значит дуга ВС=68*2=136
2) Так как АВ=АС (по усл), дуга АВ=дугеАС
3) 360-136=224.
Так как дугаАВ=дугеАС, то АС=224:2=112.
угол АОС- центральный, равен дуге АС=112
Ответ: 112
Т.к. в треугольнике сумма углов равна 180, то угол В=30 градусов.Высота делит АВС на 2 треугольника. Рассмотрим треугольник СDВ, где угол D=90, а угол В=30 градусам. СВ-гипотенуза, CD-катет, противолежащий углу в 30 градусов. Катет, противолежащий углу в 30 градусов равен половине длины гипотенузы, значит гипотенуза в 2 раза больше СD.
