Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см найти длину каждого катет если площадь прямоугольника должна быть наибольшей

Answer 1

Решать можно двумя способами
1) прямоугольник( соответственно и его половина - прямоуголный 3-уг) имеет наибольшую плошадь при равенстве сторон , т.е. квадрат. Это если мы это знаем. Тогда катеты его равны между собой и равны ( по т. Пифагора, по синусу-косинусу, разное можно предложить )
например  $2* x^{2} = 8^{2} \\ x=4 \sqrt{2}$
2) если мы этого не знаем, тогда пусть одна сторона будет х, тогда другая будет $\sqrt{64- x^{2} } \\ S=(x* \sqrt{64- x^{2} } )/2$  берем производную, приравниваем к 0 (находлим экстремум).  В результате находим Х, который равен тому, что в 1)      другая сторона такая же (тоже ее находим по т. Пифагора))

Answer 2

Дано   C =90°  ; c=8 см .
S =a*b/2 (a  и  b катеты треугольника ) ;  известно  √a*b ≤(a+b)/2 притом  равенство выполняется при а=b     * * * max (a*b) =((a+a)/2))² =a² * * *
 max(S)  при а=b .
a² +b² =c²  ;
2a²=c² ;
a=b =c/√2 =8 см/√2 =4√2 см.

ответ : 4√2 см.
* * * * *  можно и с  помощью производной * * * * * 
S(x) =1/2 *x√(c² -x²)  , где  x _ длина катета .
При каких значениях  x площадь треугольника  S принимает  наибольшее значение  ?