1 Задача. ∠CAD=180-∠BAC Рассмотрим ΔABC. Нужно найти угол С, про который мы из рисунка знаем, что он состоит из 2 углов: ∠C1CB и ∠C1CA, которые равны. А угол C1CB мы можем найти рассмотрев ΔBC1C: Нам в данном случае подойдёт формула про отношение противолежащего катета к гипотенузе и синусу острого угла/ Обзову угол C1CB углом β, т.е получается: C1B=C1C*sinβ Подставляем известные значения, получаем: 8=16*sinβ sinβ=8/16=1/2 Синус какого угла равен 1/2? подсмотрим в табличку, получаем 30°
Ну и раз мы нашли половинку угла С, можем найти и весь угол: 2*30=60°
Получается, что ∠BAC=180-(90+60)=180-150 = 30°
Теперь находим ∠CAD=180-30=150°
Ответ: 150°
4 Задача.
для начала найдём стороны ΔCBA Также по формуле соотношения противолежащего катета и синусу острого угла к гипотенузе, находим BA BC=BA*sin30 BA=BC/sin30 BA=4/0.5 BA=8 Теперь найдём CA по теореме Пифагора: CA²=8²-4² CA²=64-16 CA=√48=4√3 Теперь смотри на рисунок и видим, что CM-это медиана проведённая из прямоугольного угла, а это значит (по свойствам медиан прямоугольного треугольника) что она является радиусом описанной окружности и равна половине гипотенузы, т.е. CM=1/2BA=4. Ну и раз CM - медиана, то BM=MA=4
Теперь рассмотри ΔCMA и видим что он является равнобедренным, поскольку CM=4 и MA=4. Биссектриса MD - также будет являться и медианой и высотой, поскольку проведена из вершины равнобедренного треугольника к его основанию. Ну а раз MD - медиана, то CD=DA=CA/2 Подставим наши значения и получим CD=(4√3)/2=2√3
Теперь рассмотрим прямоугольный ΔCMD И по теореме Пифагора находим катет MD. MD²=CM²-CD² MD²=4²- (2√3)² MD²=16-12 MD²=4 MD=√4 MD=2
Пусть неизвестный катет - х, тогда из теоремы Пифагора: (х+2)² = х² + (4√2)² х² + 4х + 4 = х² + 32 4х = 28 х = 7 7 больше, чем 4√2, значит это и есть больший катет. Тангенс угла против него равен соотношению этого катета и другого, т.е. 7/(4√2)
