Question

Решить логарифмическое неравенство

Answer 1

$\log_{2-x}(x+2)*\log_{x+3}(3-x) \leq 0$
ОДЗ:
2-x>0 ⇒ x<2
x+2>0 ⇒x>-2
x+3>0 ⇒ x>-3
3-x>0 ⇒ x<3
Объедение все условия в одно получим интервал x∈(-2;2)

 $\log_{2-x}(x+2) \leq 0$ или $\log_{x+3}(3-x) \leq 0$

$\log_{2-x}(x+2) \leq \log_{2-x}1$

$\log_{j(x)}(f(x)) \leq \log_{j(x)}(g(x))$ ⇒ $(f(x)-g(x))*(j(x)-1) \leq 0$

(x+2-1)(2-x-1)≤0
(x+1)(1-x)=0
x1=-1;x2=1 (точки закрашенные)

$\log_{x+3}(3-x) \leq \log_{x+3}1$
(3-x-1)(x+3-1)≤0
 (2-x)(x+2)=0
x3=2; x4=-2 (точки пустые)

Нанеся все точки на числовую прямую получим 5 промежутков. 
Неравенство будет выполняться на промежутке x∈(-2;-1]∪[1;2)

Answer 2

решить логарифмическое неравенство
( Log(2-x)  x+2 ) * ( Log(x+3) 3-x )  ≤ 0.
----
ОДЗ : { 2-x >0 ; 2- x ≠ 1 ; x+2 >0 ; x+3 >0 ;x+3 ≠ 0; 3-x >0⇔
x∈ (- 2 ; 1)  U (1 ; 2) . * * *   (- 2) ///////////////////////////(1) ////////////////  (2)  * * *
---
При x+2=1, т.е. при  x = -1 имеет место равенство 0 = 0, в остальных случаях  неравенство строгое:  Log(2-x)  x+2 ) * ( Log(x+3) 3-x )  <  0 .
---
a)  Если  - 2 < x < 1 ⇒  -1 < - x < 2  ⇒ 1 < 2 - x < 4    и  1 <  x+3  < 4 ,
т.е. оба основания логарифмов больше единицы и ( Log(x+3) 3-x ) > 0
т.к.  2 < 3 - x < 5 . 
0 < x+2 < 3 разбиваем на две части 
a₁) 0 <  x+2 < 1   || -2< x < -1 || ⇒ ( Log(2-x)  x+2 )   < 0 ,следовательно :  
( Log(2-x)  x+2 )* ( Log(x+3) 3-x ) <  0  _выполняется неравенство.

a₂)   1 <x+2 <3  || -1< x < 1 ||  ( случай x +2 =1 уже рассмотрели )
 ( Log(2-x)  x+2 )   >  0 ,следовательно : 
 Log(2-x)  x+2 )* ( Log(x+3) 3-x )  >  0  _не выполняется неравенство.
---
b)  Если  1 < x < 2  ⇒ 0 < 2 - x < 1 ; 3 < x+2 < 4  ; 4 < x +3 < 5 ;1< 3 - x < 2. Log(2-x)  x+2 ) < 0  ; Log(x+3) 3-x  > 0 ,,следовательно : 
( Log(2-x)  x+2 )* ( Log(x+3) 3-x ) <  0 _выполняется неравенство.
В итоге 
(- 2) ///////////////// [-1]---------(1) ////////////////  (2)

ответ: x∈ (- 2 ; -1]  U (1 ; 2) .