Почему не существует аналога формулы Герона для четырёхугольников (см)?
5 ответов:
Обобщить задачу Герона и её решение не так-то просто. Если три стороны треугольника жестко задают величины углов между ними и всегда есть возможность провести через его вершины окружность, то в случае с построением четырехугольника по его сторонам a, b, c и d многовариантность величин углов создаёт неопределённость. Из тех же сторон квадрата можно построить ромб, а можно сложить их в одну линию.
Для снятия такой неопределённости необходимо ввести дополнительные значения параметров или наложить ограничения. Например, из условия вписывания четырехугольника в окружность находится формула Брахмагупты:
где p – полупериметр четырехугольника:
Если для вписанного четырехугольника добавить ещё одно условие, позволяющее вписать в четырехугольник окружность, то формула приобретает наипростейший вид:
Читайте также
Площадь любого треугольника равна 1/2 произведения основания на высоту. Пусть основание 8, а высота - x. Высота делит основание на 2 отрезка: y и (8 - y). Соответственно, образуются 2 прямоугольных треугольника со сторонами:
4, y, x и
6, (8 - y), x.
Для прямоугольных треугольников справедлива теорема Пифагора:
(1) 4^2 = x^2 + y^2 (значок "^" - возведение в степень),
(2) 6^2 = x^2 + (8 - y)^2 = x^2 + 8^2 - 2*8*y + y^2
Не мудрствуя лукаво, вычтем из уравнения (2) уравнение (1). Получаем:
36 - 16 = 64 - 16*y
откуда: y = 44/16 = 11/4 = 2,75
Из (1) определим x:
x = SQRT(16 - 2,75^2) = SQRT(8,4375) ~= 2,90473751
Откуда площадь: 1/2*8*x = 4*x ~= 11,61895004
<hr />Тот же результат получается по формуле Герона:
где p - полупериметр - (a + b + c)/2.
<hr />Посчитать он-лайн площадь любого треугольника по 3-м сторонам можно тут или тут.
Вывод формулы Герона можно посмотреть тут или тут.
<hr />P.S. Мне представляется, что для 4-го класса такие задачки решать рановато. Но измерять площадь любого треугольника уже можно с помощью палетки (сетки, накладываемой на фигуру)! Как определять площадь фигуры по формуле Пика (приблизительно) см. тут.
Первый вариант.
Можно использовать формулу Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника, если известны его стороны.
S=кв.корень[(p(p-a)(<wbr />p-b)(p-c))], где p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника со сторонами: a,b,c;
S - площадь треугольника.
Вычисляем:
p=(a+b+c)/2=(6+6+6)/<wbr />2=9
S=к.кв[9(9-6)(9-6)(9<wbr />-6)]=к.кв[9*3*3*3]=к.<wbr />кв[243]=15,6 см кв.(приблизительно)
Второй вариант.
Имеем равносторонний треугольник со стороной a и высотой h, достраиваем его до параллелограмма.
Площадь параллелограмма=a*h, а площадь треугольника=a*h/2
Высота треугольника h по теореме Пифагора
h=кор.кв[a в кв.-(a/2)в кв.]=кор.кв[6 в кв.-3 в кв.]=кор. кв (36-9)=кор. кв 27=5,2 (приблизительно)
Тогда
Sтреугольника=a*h/2=<wbr />6*5,2/2=15,6 приблизительно.