Question

Аня нарисовала квадрат ABCD. Затем она построила равносторонний треугольник ABM
так, что вершина M оказалась внутри квадрата. Диагональ AC пересекает треугольник в точке
K. Докажите, что CK = CM.

Answer 1

Очевидно что вершина $M$ будет симметрична относительно сторона $AD;BC$ , и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. Положим что сторона квадрата равна $x$ . 
Так как треугольник $ABM$- равносторонний , следует что  $MBC=90а-60а=30а$ , $BCK= \frac{90а}{2}=45а$. 
$AM=BM=x$ 
$BK=x*\frac{sin45а}{sin(180а-45а-30а)}=(\sqrt{3}-1)x$ 
Тогда $MK=x-BK=x(2-\sqrt{3})$ 
$BH=\frac{2x}{\sqrt{3}}\\ HC=\frac{x}{\sqrt{3}}$  
то есть $HM=BH-x=\frac{x(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$ 
откуда  $CM=\sqrt{2-\sqrt{3}}x$ 

Теперь положим что $CK=CM$  верно , тогда должно выполнятся условие  $KCM+MCH=45а$ 

найдем эти углы 
по теореме косинусов подставим известные величины 
$MK^2=2CK^2-2CK^2*cosKCM\\ HM^2=CK^2+HC^2-2*CK*HC*cosMCH$
откуда 
 
 $KCM+MCH=arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+arccos(\frac{1}{2*\sqrt{2-\sqrt{3}}}) =30а+15а=45а$
то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно 
 $CK=CM$