Обозначим АН=х и ВН=4х. Из подобия треугольников АСН и АСВ имеем
Из подобия треугольников ВСН и АСВ имеем
, (-1/2 посторонний корень).
Пусть СК биссектриса. Т к ВН больший отрезок гипотенузы, то точка К лежит на ВН. По свойству биссектрисы
Получаем равенство
AH=4,5; BH=18.
Из подобия треугольников АСН и СВН имеем
Ответ 101,25 кв см
KF (6-8;-2+1) => KF(-2;-1)
KN (5-8;5+1) => KN(-3;6)
KM = KF + KM
KM (-2-3;-1+6) => KM (-5;5)
Находим т. М
x - 8 = -5 => x = 3
y + 1 = 5 => y = 4
M(3;4)
В этой задаче надо решить 3 треугольника:
АВС, АСД и АВД.
Треугольник АВС примем в прямоугольной системе координат точкой А в начало и точкой В - по оси Ох.
А(0; 0), В(7; 0).
Из первого по теореме косинусов находим косинусы углов А, В и С.
Отрезки СД и ВД по заданию равны:
СД = 6*(7/8) = 21/4 = 5,25.
ВД = 6*(1/8) = 3/4 = 0,75.
<span><span /><span>
cos A= (<span>АВ²+АС²-ВС²)/(</span></span></span>2*АВ*АС)<span><span> =
0,52381.
</span> <span>A =
1,019479
радиан
</span><span> =
58,41186
градусов.
</span><span /><span /><span>
cos В= (<span>АВ²+ВС²-АС²)/(</span></span></span>2*АВ*ВС)<span><span> =
0,904762.</span><span>
</span><span>B =
0,439976
радиан
</span><span> =
25,20877
градусов.
</span><span /><span /><span /><span>
cos C= (<span>АC²+ВС²-АВ²)/(</span></span></span>2*АC*ВС)<span><span> =
-0,111111 = -1/9.
</span><span>C =
1,682137
радиан
</span><span> =
96,37937
градусов.
Хс = АС*cos A = 3*</span></span>0,52381 = 1,571429.
Yc =AC*sin A = 3*√(1-0,52381²) = 3*<span><span>0,851835 = 2,555506.
Сторона АД = </span></span>√(3²+5,25²-2*3*5,25) = <span><span>6,3294945.
</span></span><span>Аналогично находим координаты точки Д.
Хд = </span> 6,321429.
Yд = 0,319438.
Находим координаты центров О1 и О2 окружностей, вписанных в треугольники АСД и АВД.
Хо1 = (CD*Ха+АС*Хd+АD*Хс)/ Р = 1,982965.
Уо1 = (CD*Уа+АС*Yd+АD*Ус)/ Р = 1,17517.
Хо2 = (ВD*Ха+АB*Хd+АD*Хb)/ Р = 6,28975.
Уо2 = (ВD*Уа+АB*Yd+АD*Уb)/ Р = 0,158817.
Здесь Р - периметр треугольника.
Находим площади треугольников по формуле Герона:
S(ACD) = <span><span>7,826238.
S(ABD) = </span></span><span><span>1,11803.
Находим радиусы вписанных окружностей:
r1 = </span></span>S(ACD)/p = 7,826238/<span>
7,2897472 = </span><span><span>1,073595.
r2 = </span></span>S(ABD)/p = 1,11803/<span>
7,039747225 = </span><span><span>0,158817.
</span></span><span>Теперь находим длину L отрезка О1О2:
L = </span>√(Хо2-Хо1)²+(Уо2-Уо1)²) = <span><span>4,425080879.
По Пифагору находим:
EF = </span></span>√(L²-(r1+r2)²) = 4,25.
