<em>Отрезки ад и вс пересекаются</em>
<em> в точке е,</em>
<em>ае=8 см,</em>
<em>ве=6 см, </em>
<em>се=3 см.</em>
<em><u>ав параллельна сд. </u></em>
найдите се? Наверное, де.
<u>Задача на подобие треугольников.</u>
Сделаем рисунок.
Так как сд и ав параллельны,<u> угол при с равен углу при в,</u>
<u>а угол при д равен углу при а</u> соответственно <u>по свойству накрестлежащих углов,</u> образующхся при пересечении параллельных прямых секущей.
<u>Углы</u> обоих треугольников<u> при е равны как вертикльные.</u>
Треугольники веа и сед<u>подобны.</u>
Поскольку в условии <u>уже дана длина се</u>, найдем длину де.
ве:се-6:3=2см
<u>Коэффициент подобия этих треугольников равен 2</u>
ае:ед=2
ед=ае:2=8:2=4 см
Я для этой задачи сделаю исключение. Дело в том, что недавно возникла дискуссия о пользе теоремы Чевы. А это - очень хороший пример, когда задача просто устная благодаря этой теореме.
Нужна вспомогательная задача. Пусть есть произвольный треугольник ABC, и на стороне AB выбрана точка A1 так, что отношение BA1/A1C - фиксированное число k. Пусть на AA1 выбрана точка O, так что AO/OA1 - тоже заданное число m.
Легко видеть, что если построить две другие чевианы, проходящие через точку О, то отношения CB1/B1A = x и CA1/A1B = y будут однозначно определяться числами к и m, не зависимо от конкретного вида треугольника ABC. В самом деле
x + y = m (теорема Ван Обеля)
ky/x = 1 (теорема Чевы)
то есть y = m/(k + 1); x = km/(k + 1);
Теперь - к этой задаче.
Есть два треугольника - ACM и BCM. Для которых CH/HM = k одинаковое :) ну просто потому, что это общая сторона.
И кроме того AE/EH = BF/FH = m = 1;
Из вспомогательной задачи следует CP/PA = CQ/QB,
что означает PQ II AB; это все решение.
Заметьте, что нигде не использовано, что CM - высота, и что H - ортоцентр. То есть условие будет работать вообще для любых чевиан, а не только для высот.
Решение задания смотри на фотографии
Две прямые, пересекаясь, образуют две пары вертикальных углов.
Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла, значит геометрическим местом точек М, равноудалённых от прямых р и q, будут биссектрисы всех углов, образованных при пересечении этих прямых.
Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, биссектрисы смежных углов перпендикулярны, значит все точки М лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, совпадающих с вышеназванными биссектрисами.
Поскольку площади пропорциональны квадратам длин сторон, а периметры первой степени длин сторон, то отношение периметров треугольников будет =√(50/32) = 1,25. Периметр одного треугольника = Х. Тогда периметр другого = 1,25Х. Сумма периметров Х + 1,25Х = 117. 2,25Х = 117. Отсюда Х = 117/2,25 = 52 дм. Периметр другого треугольника = 117 - 52 = 65 дм.
