Question

Как исследовать функцию на ограниченность?

Answer 1

Нужно во-первых, найти экстремумы - максимумы и минимумы, а во-вторых, пределы на бесконечности. И сравнить их.

Например, возьмем квадратную параболу.

y = ax^2 + bx + c

Если a > 0, то пределы на бесконечности = +бесконечности, и у нее есть вершина - минимум.

x0 = -b/(2a)

Поэтому она ограничена снизу значением y(x0) = ax0^2 + bx0 + c, а сверху не ограничена.

Если a < 0, то все наоборот - функция ограничена сверху, а снизу нет.

Или, например, возьмем кубическую параболу.

y = ax^3 + bx^2 + cx + d

В общем случае она имеет два экстремума - один максимум и один минимум, но пределы на бесконечности =

+бесконечности и -бесконечности, поэтому функция не ограничена ничем, экстремумы уже значения не имеют.

Или, например, функция экспоненты

y = a^x при a > 0

У этой функции предел на +бесконечности = +бесконечности, а предел на -бесконечности = 0.

Поэтому y > 0 при любом x. То есть функция ограничена снизу осью Ох.