Опустим высоту из точки В. обозначим её ВК.
Получим два прямоугольных треугольника АВК и СВК.
ВК= 5 ·sin A
BK= 8 ·sin C. Так как угол С в два раза меньше угла А, то А=2С
Приравняем
5·sin 2C=8·sin C
10·sin C·cosC=8·sin C
cos C= 0,8
sin C= √1-0,8²=0,6
sin A= sin 2C= 2·sin C·cosC=2·0,6·0,8=0,96
Площадь ромба: d1*d2/2; где d1 и d2 - диагонали.
d1 = 2
d2 = 4
S = 2*4 / 2 = 8/2 = 4
Ответ: 4
..............................
Если провести два отрезка из центра вписанной окружности к углам n-угольника, то получится равнобедренный треугольник.
У него основание равно b=6, а высота, она же медиана и биссектриса r=3√3.
Тангенс половинного угла
tg(a/2) = (b/2):r = 3:(3√3) = 1/√3
Отсюда a/2 = 30°; a = 60°.
Это 6-угольник.