ГЛАВА II.
ТРЕУГОЛЬНИКИ.
§ 30. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол.
Пусть в /\ АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (черт. 164).
Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С.
Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.
Угол ВDС — внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.
Так как / ВСD = / ВDС, то и угол ВСD больше угла А: / ВСD > / A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A.
Доказать самостоятельно ту же теорему по чертежу 165, когда ВD = АВ.
В § 18 мы доказали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. е. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Докажем теперь обратные теоремы.
Теорема 2. Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.
Пусть в /\ AВС / A = / С (черт. 166). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный.
Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений:
1) АВ > ВС;
2) АВ < ВС;
3) АВ = ВС.
Если бы сторона AВ была больше ВС, то угол С был бы больше угла A, но это противоречит условию теоремы, следовательно, АВ не может быть больше ВС.
Точно так же АВ не может быть меньше ВС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла A.
Следовательно, возможен только третий случай, т. е.
АВ = ВС
Итaк, мы доказали: против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.
Теорема 3. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Пусть в треугольнике АВС (черт. 167) / C >/ B
Докажем, что АВ > АС.
Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений:
1) АВ = АС;
2) АВ < АС;
3) АВ > АС.
Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то / С был бы равен / В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС
Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию.
Следовательно, возможен только один случай, а именно:
АВ > АС.
Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона.
Следствие. В прямоугольном треугольнике. гипотенуза больше любого из его катетов.
1)При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов: 30+40=70 см.
При внутреннем касании расстояние между радиусами равно разности между большим и меньшим радиусами: 40-30=10 см.
2) ΔАОВ: ОА=ОВ
АВ²=АО²+ВО²+2·AO·BO·cos60°=36+36-2·6·6·0.5=72-36=36.
AB=√36=6 см.
3) Расстояние от точки, с которой проведены две касательных , до точек касания равны.Поэтому можно утверждать, что искомый треугольник равнобедренный с углом при вершине 60°. Определим углы при основании, (180-60)/0=60°. Искомый треугольник равносторонний, так как все углы по 60°.
Обратим внимание на отношение сторон треугольника МКР.
МК=5+10=15, и
КР:МР:МК=3:4:5. Это отношение сторон египетского треугольника, т.е. треугольник МКР - прямоугольный.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
S МКР=МР*КР:2=54
В треугольниках МТР и КТР высоты из вершины Р равны, это высота всего треугольника МКР.
Площади треугольников с равными высотами относятся как их основания.
⇒
Ѕ Δ МТР:Ѕ Δ МКР=5:15=1/3
Ѕ Δ МТР= 54*3=18 см²
Ѕ Δ ТРК=54-18=36 см²
------------
Если не учитывать, что треугольник МКР прямоугольный, можно сначала найти его площадь <u>по формуле Герона</u>. Она будет равна 54 см.
А дальше решение аналогично данному выше.
Так как каждое ребро пирамиды равно корень из 3, то эта пирамида является правильной так как она состоит из 4 правильных треугольников. Нам как раз и надо найти площадь любого из них, но ведь площадь полной поверхности это будет 4 площади любого из правильных треугольников данной пирамиды. Площадь правильного треугольника (формула) S=(а^2*корень из 3)/4, где а - сторона правильного треугольника. Получаем:4*("корень из 3"^2*корень из 3)/4 = 3*"корень из 3" (четверки сокращаются, а корень из 3 в квадрате равен 3 (для длин сторон))
Ответ: 3*"корень из 3"