Question

В треугольнике ABC проведены биссектриса AX, медиана BY, высота CZ. Треугольник XYZ- равносторонний. Докажите, что треугольник ABC- равносторонний.

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник AZC
ZY- медиана прямоугольного треугольника проведённая к гипотенузе , значит ZY=AY=YC
Так как треугольник XYZ равносторонний , то стороны YX и XZ тоже равны половине стороны АС 
XY=YZ=ZX=AY=YC
Значит треугольник AXC тоже прямоугольный. Так как медиана проведённая к большей из его сторон равна половине этой стороны.
Значит АX - высота, но  AX и биссектриса , а это значит, что треугольник АВС является равнобедренным . Также АX может быть медианой, а это значит что ВХ=ХС 
ZX- медиана прямоугольного треугольника BZC (CZ⊥AB по условию)
Значит ZX=BX=XC, ZX=XY=YZ=YC=YA=AY=YB ⇒  AB=BC=CA