Мне ситуация представляется противоположной. Я на первом курсе филологического факультета немного изучал древнегреческий. За тонкости грамматики не взялся бы, а по поводу слов, лексики скажу, что помню.
Да, автор вопроса, по-моему прав - один из корней в этих словах общий.
В греческом языке было слово архЭ, и ему по смыслу соответствует русское слово начало. Как известно, со временем значения слов могут расширяться и расходиться. Так было с русским словом начало и греческим. Начало - отправная точка во времени. Тот, кто что-либо сделал первым, стал в своём деле, своем роду родоначальником. Начало, под началом. Кутузов начинал воевать под началом Суворова. Суворов был его начальником и военачальником вообще. То есть в словах начальник, начало, начальство соединились идеи первенства во времени, старшинства по возрасту, стажу - и по званию, положению, верховенству, как в поговорке "Кто первый встал, того и тапки". Власть предержащий. И в из греческого языка мы взяли название самой древней геологической эпохи - архейской эры, архея, что в школе проходят по географии. А православие с крещения Руси принесло множество греческих заимствований, и по образцу греческих слов образовывались их буквальные русские переводы, что продолжили и светские учёные с 17-18 веков. Так греч. иереос - жрец, священник в русском приняло форму иерей, а корень архэ соединился с ним в слове, которое пришло в русский язык два раза: как заимствование - иерархия, которое сейчас применяется очень широко и вне церкви, и как его буквальный церковный перевод "священноначалие". Иерарх Церкви - это священник начальник. (Иероглифы буквально "священные письмена"). Другие слова с этим корнем: ан- (без-, не-) + архЭ = анархия "безвластие", олигос "немногочисленный" + архЭ = олигарх и олигархия "власть немногих". Археология - наука о древностях, началах истории. Архиепископ - "над"-епископ, архиважный - сверхважный (Э и И - два варианта реконструкции произношения древнегреческой буквы "эта" или "ита" - этацизм и итацизм, Эразмово и Рейхлиново чтения). Смотрите более подробные словари - и русского языка, древнегреческого. И труды по этимологии.