Question

Докажите, что на множестве действительных чисел функция f(x) является возрастающей:
$f(x)=5x-cos2x\\f'(x)=5+2sin2x\\5+2sin2x\ \textgreater \ 0\\sin2x\ \textgreater \ -\frac{5}{2}$
Не имеет смысла? ведь sinx ограничена в [-1;1]

Answer 1

$y=5x-cos2x\\\\y'=5+2sin2x\ \textgreater \ 0\\\\sin2x\ \textgreater \ -2,5$

sin2x Є  [-1,1 ] , что заведомо больше, чем (-2,5) !

Это неравенство выполняется для любых значений
переменной х. (То есть это истинное высказывание.)

$-1 \leq sin2x \leq 1\\\\-2 \leq 2sin2x \leq 2\\\\3 \leq 5+2sin2x \leq 7\; \; \; \; pri\; \; x\in (-\infty ,+\infty )$

То есть функция y'=5+2sin2x принимает значения из
сегмента [3,7] , что больше, чем  -2,5.
Если производная всюду положительна, то сама функция
будет возрастающей при х Є R. ( R - множ. действ. чисел)