Искомая сумма
![S](https://tex.z-dn.net/?f=S)
равна:
![S = b_1 + b_2 + b_3 + \dots = b_1 + q b_1 + q^2 b_1 + \dots = b_1 \left(1+q + q^2 + \dots \right)](https://tex.z-dn.net/?f=S+%3D+b_1+%2B+b_2+%2B+b_3+%2B+%5Cdots+%3D+b_1+%2B+q+b_1+%2B+q%5E2+b_1+%2B+%5Cdots+%3D+b_1+%5Cleft%281%2Bq+%2B+q%5E2+%2B+%5Cdots+%5Cright%29)
. Поэтому решение задачи свелось к нахождению суммы
![s = 1 + q + q^2 + \dots](https://tex.z-dn.net/?f=s+%3D+1+%2B+q+%2B+q%5E2+%2B+%5Cdots)
, формулой для которой можно воспользоваться в готовом виде, но полезнее уметь её выводить каждый раз, когда она оказывается нужна. Итак, выводим формулу для
![s](https://tex.z-dn.net/?f=s)
.
Рассмотрим для начала сумму первых членов
![s_n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n](https://tex.z-dn.net/?f=s_n+%3D+1+%2B+q+%2B+q%5E2+%2B+%5Cdots+%2B+q%5En)
. Имеем:
![(1-q)s_n = (1-q)(1 + q + q^2 + \dots + q^n) = 1 + q + q^2 + \dots + q^n - q - q^2 - \dots - q^n - q^{n+1} = 1 - q^{n+1}](https://tex.z-dn.net/?f=%281-q%29s_n+%3D+%281-q%29%281+%2B+q+%2B+q%5E2+%2B+%5Cdots+%2B+q%5En%29+%3D+1+%2B+q+%2B+q%5E2+%2B+%5Cdots+%2B+q%5En+-+q+-+q%5E2+-+%5Cdots+-+q%5En+-+q%5E%7Bn%2B1%7D+%3D+1+-+q%5E%7Bn%2B1%7D)
. Таким образом,
![s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}](https://tex.z-dn.net/?f=s_n+%3D+%5Cfrac%7B1+-+q%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7B1+-+q%7D)
, откуда, переходя к пределу при
![n \rightarrow \infty](https://tex.z-dn.net/?f=n+%5Crightarrow+%5Cinfty)
, получаем
![s = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \frac{1}{1 - q}](https://tex.z-dn.net/?f=s+%3D+%5Clim_%7Bn+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D+s_n+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+q%7D)
. Предел существует при
![\left|q\right|<1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%7Cq%5Cright%7C%3C1)
.
Итак, искомая сумма равна:
![S = b_1 (1 + q + q^2 + \dots) = b_1 s = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{2} = 4,5](https://tex.z-dn.net/?f=S+%3D+b_1+%281+%2B+q+%2B+q%5E2+%2B+%5Cdots%29+%3D+b_1+s+%3D+%5Cfrac%7Bb_1%7D%7B1-q%7D+%3D+%5Cfrac%7B3%7D%7B1+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D+%3D+4%2C5+)
Все монотонности и перегибы на графике, на пункт б ответ (-1;0)