Question

4 черепахи из точек квадрата идут друг за другом, когда они встретятся?

Черепахи сидят в точках, образующих квадрат. Потом каждая начинает идти в направлении соседней черепахи (навстречу никто не идет, все друг за дружкой). Через какое время они встретятся? Известна первоначальная сторона квадрата A и скорость черепах V.

Answer 1

Они не встретятся никогда. Это как знакомая загадка об избе, в которой люди ходят под стенами. Чтобы они встретились, должно быть минимум пять черепах, у нас их всего лишь четыре. Учитывая постоянную и одинаковую их скорость, и то, что каждая сторона, по которой они идут, равна трем остальным, можно сказать, что они не встретятся, а просто будут ходить по кругу, одна за другой.

Answer 2

По условию задачи черепахи должны двигаться по спирали. Потому что каждая идет не по стороне квадрата (и не по кругу), а направляясь в каждый данный момент времени по направлению своей соседки, которая впереди. А та тоже идет по направлению своей впереди идущей соседки. Следовательно, идти они будут по спирали, сходящейся к центру квадрата. Но поскольку черепахи имеют определенные размеры, они не могут все прийти в одну эту точку в середине квадрата. Им панцири будут мешать. Поэтому движение довольно быстро остановится. То есть витков спирали будет мало. Если же вместо черепах точки, то они будут двигаться, возможно, по Архимедовой спирали - только она будет не раскручиваться, а "скручиваться". Может быть, для решения задачи нужно перейти к полярным координатам, но я аналитическую геометрию давно забыл :).

Answer 3

В этой задаче, если я не ошибаюсь, нам могут пригодиться школьные косинусы, ответ х= a/v, где cos45°, тк вектор V из двух составляющих -прямоугольный треугольник К сожалению, не имею сейчас возможности сам воспользоваться paint_, выхожу с телефона, даже не России)), но попробую пояснить без рисунка. На вашей картинке можно провести оси координат через пару противоположных черепах, причем, помним, что одна составляющая всегда перпендикулярна оси(а вторая параллельна), и если скорости у черепашек равные и каждая черепашка пройдет 1/2 диагонали квадрата, то есть a*cos45°,но и скорость Vнеизменна(y)= V*cos45°, то (a*cos45°)/(v*cos45°)зверюшки встретятся в нулевой точке координат, по условию задачи в центре квадрата, объяснил, нет?

Answer 4

Никогда! Они же по кругу ходят, как они могут встретиться? Если имеется ввиду, что они по кругу должны дойти до одной точки, то 1-я должна стоять на месте, время второй=А*В, 3-й =2А*В, 4-й = 3А*В, все три показателя нужно суммировать.

Answer 5

Это же детская задача. Если черепахи точечные и имеют постоянную скорость V, а сторона квадрата равна А, то очевидно, что встретятся они все в центре квадрата в момент времени А/V после начала движения. Просто это не видно с первого взгляда и надо пристально вглядываться в рисунок ответа уважаемого Проповедника. Мне понадобилось меньше минуты пристального вглядывания.

Гораздо более занимательный вопрос - сколько оборотов вокруг своей оси они сделают к моменту встречи?

Answer 6

Черепахи встретятся через время (t), равное отношению первоначальной стороны квадрата (A) к скорости движения черепах (V). То есть t=A/V.

Из рисунка уважаемого автора вопроса становится очевидным, что встретятся они в центре квадрата (точке пересечения диагоналей квадрата). Движение каждой из четырёх черепах будет происходить по изогнутой траектории, равной по длине стороне первоначального квадрата... Разумеется, что размерами самих черепах здесь надо пренебречь, считая их за материальные точки.

Итак, ответ: черепахи встретятся через время t=A/V в центре квадрата.

(Подробное решение здесь.)

Answer 7

Движение идет так, как показано на картинке

Решение:

Переходим в инерциальную систему координат, связанную с первой черпахой. Ось x проходит через первую черепаху и ту, за которой следует первая. В этой системе координат получается, что первая черепаха неподвижка, а скорость приближения второй черепахи к первой постоянна и равна V. Первоначальное расстояние между ними A. Значит первая черепаха и вторая встретятся через время А/V. Всилу симметрии остальные черепахи в это же время дойдут до точки встречи.

Answer 8

Когда - слабая помрёт...

надо было одного кота кидать в квадрат.

А если серьёзно, то многие решения на всякие подобного рода задачки см. http://fizportal.ru/problem-kin-106. Там же и есть решение на поставленную задачку про черепашек.

Answer 9

Рассмотрим зависимость расстояния между соседними черепахами от времени r(t). Через время dt оно будет равно r(t+dt), а это - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами Vdt и r(t)-Vdt. Таким образом, r(t+dt)=sqrt((Vdt)^2+(r(t)-Vdt)^2) и при dt, стремящемся к 0, стремится к sqrt((Vdt)^2+(r(t))^2-2Vdt+(Vdt)^2). Пренебрегая вторым порядком малости: sqrt((r(t))^2-2Vdt)=r(t)(1-2Vdt/(r(t))^2)^1/2=r(t)(1-1/2*2Vdt/(r(t)^2)^2)=r(t)-V­<wbr />dt. То есть расстояние между черепахами убывает с той же постоянной скоростью V и обратится в 0 через время A/V.