Question

Sin x + cos x=1-sin 2x. Решите уравнение

Answer 1

sinx + cosx = 1 - sin2x

Пусть  sinx + cosx = a , тогда  а² = 1 + sin2x  ⇒  sin2x = a² - 1

a = 1 - ( a² - 1 )

a² + a - 2 = 0

D = 1² - 4•(-2) = 9 = 3²

a₁ =  1   ⇒  sinx + cosx = 1  ⇒  √2sin( x + п/4 ) =  1  ⇒  sin( x + п/4 ) = √2/2

1)  x + п/4 = п/4 + 2пn  ⇒   x = 2пn ,  n ∈ Z

2)  x + п/4 = 3п/4 + 2пk  ⇒  x = п/2 + 2пk , k ∈ Z

a₂ = - 2  ⇒  sinx + cosx = - 2  ⇒  √2sin( x + п/4 ) = - 2  ⇒  sin( x + п/4 ) = - √2   ⇒   - 1 ≤  sint  ≤ 1  ⇒ ∅

ОТВЕТ: п/2 + 2пk, k ∈ Z ; 2пn, n ∈ Z