Question

Решите логарифмическое неравенство (x^2-4)* log1/2 (x^2+1)

Answer 1

task/30688676     Решите логарифмическое неравенство

(x²- 4) log_(1/2)  (x²+1)   > 0

решение   x²+ 1  ≥  1   равенство выполняется при x = 0 , что, очевидно,   не явлется решением неравенства    [ log_(1/2)  1 = 0] .

(x²- 4) log_(1/2)  (x²+1) > 0 ⇔ { x²- 4 < 0 ; x  ≠  0.  ⇔ { (x +2)*(x - 2)  < 0 ; x  ≠  0. ⇔  { x ∈( -2 ; 2)  ; x  ≠  0.  ⇔  x  ∈ ( -2 ;0 ) ∪ (0 ;2) .

ответ :  x  ∈ ( -2 ;0 ) ∪ (0 ;2)  

* * * x  ≠  0  log_(1/2)  (x²+1) < log_(1/2)  1  < 0  ; 0 < осн.лог.=1/2 < 1  * * *

Answer 2

$(x^2-4)\cdot log_{1/2}(x^2+1)>0\; \; ,\; \; ODZ:\; \; x^2+1>0\; ,\; \underline {x\in R}\\\\a)\; \; \left \{ {{x^2-4>0} \atop {log_{1/2}(x^2+1)>0}} \right. \; \left \{ {{(x-2)(x+2)>0} \atop {x^2+1<1}} \right. \; \left \{ {{x\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )} \atop {x^2<0\qquad \qquad \qquad }} \right. \\\\\left \{ {{x\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )} \atop {x\in \varnothing }} \right. \; \; \Rightarrow \; \; \underline {x\in \varnothing }$

$b)\; \; \left \{ {{x^2-4<0} \atop {log_{1/2}(x^2+1)<0}} \right. \; \left \{ {{(x-2)(x+2)<0} \atop {x^2+1>1}} \right. \; \left \{ {{x\in (-2,2)\qquad \qquad \quad } \atop {x^2>0\; ,\; (x^2\ne 0\; \to \; x\ne 0)}} \right. \\\\\left \{ {{x\in (-2,2)} \atop {x\ne 0}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; \underline {x\in (-2,0)\cup (0,2)}\\\\Otvet :\; \; x\in (-2,0)\cup (0,2)\; .\\\\\star \; \; R=(-\infty ,+\infty )\; \; \star$