Question

Как устно решить пример на картине Богданова-Бельского "Устный счет"?

На картине Николая Петровича Богданова-Бельского "Устный счет. В народной школе С.А.Рачинского" (написана в 1895 году) изображен пример, который нужно решить устно. На доске - сумма квадратов пяти чисел от 10 до 14, деленная на 365. Как такое посчитать в уме? Есть ли простой способ?

Сергей Александрович Рачинский (1833 - 1902) был профессором Московского университета, заведовал кафедрой физиологии растений. После отставки был учителем в первой в России сельской школы с общежитием для крестьянских детей в селе Татево. Сейчас школа носит его имя. Богданов-Бельский тоже учился у Рачинского.

Answer 1

Самой стало интересно. Особенно учитывая тот факт, что сегодня без калькулятора и расходы в магазине порой не считаем, мозги потихонечку высыхают. Да и когда училась, от нас не требовали устного счета. Важнее было умение пользоваться справочниками и таблицами. При этом все понимали, что в жизни никто считать в уме ничего не будет. В этом смысле ребята того времени, что изображено на картине были более головастыми и сообразительными. У них не было калькуляторов, зато голова работала хорошо. Я не смогла высчитать это в уме, и гордиться тут нечем. Но решение этой задачки все же нашлось. Решается она следующим образом:

Моего скудного ума не хватило, чтобы до этого додуматься. А по сему можете не ставить плюс.

Answer 2

Добавление к ответу Ольги. Есть простой способ возводить в квадрат двузначные числа в уме. Для этого к числу нужно или добавить, или отнять небольшое число, чтобы получилось "круглое" число, на которое легко умножить в уме. Особенно хорошо это получается, если можно получить 10 или 100. Вот примеры возведения в квадрат чисел, изображенных на картине.

Сначала нужно сгруппировать пять чисел в две группы из трех и двух чисел. Теперь возводим в квадрат первые три числа по такому алгоритму:

10^2 = 100.

11^2 = (11 - 1)×(11 + 1) + 1^2 = 10 × 12 + 1 = 121.

Аналогично 12^2 = (12 - 2) × (12 + 2) + 2^2 = 10 × 14 + 4 = 144.

Многие помнят наизусть квадраты этих чисел (особенно первого).

Сложить числа не очень сложно: 100 + 121 + 144 = 365. Получаем число, которое в знаменателе.

Теперь возводим в квадрат последние два числа по тому же алгоритму:

13^2 = (13 - 3) × (13 + 3) + 3^2 = 10 × 16 + 9 = 169.

14^2 = (14 - 4) × (14 + 4) + 4^2 = 10 × 18 + 16 = 196.

Складываем полученные два числа: 169 + 196 = (169 + 200 - 4) = 365.

Задача решена.

Кстати, 19^2 = (19 + 1) × (19 - 1) + 1 = 20 × 18 + 1 = 361.

98^2 = 100 × 96 + 4 = 9604. И т.д. Вроде такое в жизни очень редко кому нужно, но говорят, что подобные (и другие) упражнения благотворно действуют на мозг и не дают ему дряхлеть.

Answer 3

честно сказать я хорошо помнию квадраты этих чисел и спокойно просчитал бы резултат прямым счетом, но стало интересно как ускорить. Для упрощения кроме как вывести формулу для подсчета суммы квадратов пяти последовательных чисел у меня не получилось, но формулу могу привести она равна пятикратному квадрату среднего числа увеличенного на 10 (проверить Вы конечно не сможете, но я ее вывел в уме) получив в итоге 730 также в уме поделил на 365 :) результат конечно 2. Пока более простого решения не придумал

Answer 4

Все мы помним, или во всяком случае, должны помнить, формулы квадратов суммы и разности.

Теперь замечаем:

11=12-1, 13=12+1, 11^2+13^2=(12-1)^2+(12+1)^2=(12^2-2*12+1)+(12^2+2*12+1)=2*12^2+2.

10=12-2, 14=12+2, 10^2+14^2=(12-2)^2+(12+2)^2=(12^2-2*2*12+2^2)+(12^2+2*2*12+2^2)=2*12^2+8.

Итак 10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=5*12^2+2+8=5*144+10=720+10=730.

Ну уж 730 на 365 разделит наверное и первоклассник.