Question

tgx+ctgx=2 Решие уравнение

Answer 1

$\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=2$

Распишем тангенс и котангенс:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} =2$

Учитываем ОДЗ:
$\cos x \cdot \sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{ \pi k}{2} , \ k\in Z$

Домножаем уравнение на (sinx·cosx)≠0:
$\sin x \cdot \sin x+\cos x\cdot \cos x=2\cdot \sin x\cdot \cos x$
$\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=0$
$(\sin x-\cos x)^2=0$
$\sin x-\cos x=0$

Разделим левую и правую часть на cosx≠0:
$\mathrm{tg}x-1=0$
$\mathrm{tg}x=1$
$x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n, \ n\in Z$

Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{ \pi }{4}+ \pi n, \ n\in Z$

Answer 2

tgx+ctgx=2 

sinx/cosx +cosx/sinx =2

sin^2x+cos^2x-2sicx*cosx
-----------------------------------=0
sinx*cosx

ОДЗ:

1)sin^2x+cos^2x-2sicx*cosx=0

2)sinx*cosx НЕ=0

1.sinx не=0

x не=pik .k=Z

2.cosx не=0

x не=pi/2+pik .k=Z

sin^2x+cos^2x-2sicx*cosx=0
(sinx-cosx)^2=0
sinx-cosx=0
sinx=cosx
x=pi/4+2pi*k
x=-3pi/4+2pi*k

x=pi/4+pik /k=Z