Как пишется правильно будешь или будеш, с мягким знаком или без него, выясню, сначала определив часть речи и форму рассматриваемого слова.
Ты будешь смотреть эту передачу?
Ты что сделаешь? будешь смотреть.
Слово "будешь" является формой глагола "быть". Посмотрим, как изменяется этот глагол по лицам и числам:
1 лицо я буду - мы будем
2 лицо ты будешь - вы будете
3 лицо он будет - они будут.
Значит, слово "будешь" - это форма 2 лица единственного числа глагола "быть".
Личное окончание глаголов 1 спряжения -ешь (пишешь, читаешь) или глаголов 2 спряжения -ишь (строишь, красишь) согласно правилу орфографии пишутся только с мягким знаком, который морфологически обозначает эту форму, а не смягчает всегда твердый согласный звук [ш].
Слово "будешь" правильно пишется с мягким знаком.
Утром ты будешь плавать в реке?
На вечере будешь читать свои стихи?