Cos(
- 5x) - sin x= - 2cos 3x
По формулам приведения: cos(
-
) = sinα:
sin5x-sinx=-2cos3x
sin(3x+2x)-sin(3x-2x)=-2cos3x
sin3xcos2x+sin2xcos3x-sin3xcos2x+sin2xcos3x=-2cos3x
2sin2xcos3x=-2cos3x
Все перенесем в одну сторону:
2sin2xcos3x+2cos3x=0
2cos3x(sin2x+1)=0
cos3x=0 или sin2x+1=0
3x=
+πn, n∈Z sin2x=-1
x₁=
+
, n∈Z 2x=
n∈Z
x₂=
n∈Z
Рассмотрим
. Модуль комплексного числа:
Тогда
Согласно формуле Муавра:
, где k=0,...4
Дополнительное объяснение. Косинус отрицателен только в II и III четвертях, а синус - в III и IV. В нашем случае оба тригонометрические функции отрицательные, т.е. синус и косинус будут отрицательны только в III четвертях.(нахождение угла смотрите во вложении картинки)
OДЗ
2x-7>=0 x>=3.5
3x+4>=0 x>=-4/3
x+11>=0 x>=-11
x>=3.5
Рассмотрим функцию
f(x) = √(2x-7) + √(3x+4) - √(x+11)
При x= 3.5 f(3.5)=0
При x>3.5
√(2x-7) > 0
√(3x+4) > √(x+11) так как 3x+4>x+11
√(3x+4) - √(x+11) > 0
f(x) >0
x=3.5 - единственный корень.
Решение смотри в приложении