Question

Комплексные числа вычислить
(-1-i)^1/5

Answer 1

Рассмотрим $z=-1-i$. Модуль комплексного числа: $|z|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$

Тогда

                    $z=-1-i=\sqrt{2}\cdot \bigg(- \dfrac{1}{ \sqrt{2} } - \dfrac{i}{\sqrt{2}}\bigg)=\sqrt{2}\bigg(\cos \dfrac{5 \pi }{4} +i\sin \dfrac{5 \pi }{4} \bigg)$

Согласно формуле Муавра:

      $\sqrt[5]{z}=\sqrt[10]{2}\bigg(\cos \dfrac{\frac{5 \pi }{4}+2 \pi k}{5} +i\sin \dfrac{\frac{5 \pi }{4}+2 \pi k}{5} \bigg)$, где k=0,...4

Дополнительное объяснение. Косинус отрицателен только в II и III четвертях, а синус - в III и IV. В нашем случае оба тригонометрические функции отрицательные, т.е. синус и косинус будут отрицательны только в III четвертях.(нахождение угла смотрите во вложении картинки)