Докажем более общее утверждение, откуда и получим нужный результат.
Вначале для удобства докажем лемму:
Лемма 1:
Для всех
![a\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=a%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
,
![\displaystyle \lim _{n\to \infty} \sqrt[n]{a} =1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%3D1)
.
Доказательство:
Предположим поначалу что
![a \geq 1](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cgeq+1)
. Обозначим
![a_n= \sqrt[n]{a} -1](https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+-1)
и докажем что
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+a_n+%3D0)
.
Используя неравенство Бернулли получаем,
![\displaystyle a=(1+a_n)^n \geq 1+na_n\ \textgreater \ na_n](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+a%3D%281%2Ba_n%29%5En++%5Cgeq+1%2Bna_n%5C+%5Ctextgreater+%5C+na_n+)
(для всех
![n\in \mathbb N](https://tex.z-dn.net/?f=n%5Cin+%5Cmathbb+N)
)
Следовательно,
![\displaystyle 0 \leq a_n \ \textless \ \frac{a}{n}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+0+%5Cleq+a_n+%5C+%5Ctextless+%5C++%5Cfrac%7Ba%7D%7Bn%7D+)
Откуда из теоремы о двух милиционерах выводим,
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+a_n+%3D0)
Следовательно,
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} (1+a_n )=1+ \lim_{n \to \infty} a_n =1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%3D+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%281%2Ba_n+%29%3D1%2B+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+a_n+%3D1)
Что и требовалось.
Осталось доказать лемму для
![0\ \textless \ a\ \textless \ 1](https://tex.z-dn.net/?f=0%5C+%5Ctextless+%5C+a%5C+%5Ctextless+%5C+1)
.
Так как
![\displaystyle 1/a\ \textgreater \ 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++1%2Fa%5C+%5Ctextgreater+%5C+1+)
, мы можем воспользоваться уже тем что доказали ранее:
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{a} } = 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%7D+%3D+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D+%7D+%3D+1)
Откуда получаем,
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } } = \frac{1}{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } } = \frac{1}{1}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D++%3D+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D+%7D++%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%3D1+)
Ч.Т.Д.
Утверждение: Пусть
![\displaystyle a_1,a_2,...,a_k \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+a_1%2Ca_2%2C...%2Ca_k+%5Cgeq+0)
, тогда
Доказательство:Пусть
![1 \leq r \leq k](https://tex.z-dn.net/?f=1+%5Cleq+r+%5Cleq+k)
число выполняющее
![a_r=\max\{a_1,a_2,a_3,...,a_k\}](https://tex.z-dn.net/?f=a_r%3D%5Cmax%5C%7Ba_1%2Ca_2%2Ca_3%2C...%2Ca_k%5C%7D)
.
Для всех
![n\in \mathbb N](https://tex.z-dn.net/?f=n%5Cin+%5Cmathbb+N)
выполняется,
![a_{1}^n+a_2^n+...+a_k^n \geq a_r^n](https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B1%7D%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En+%5Cgeq+a_r%5En)
А также,
![a_1^n+a_2^n+...+a_k^n \leq k\cdot \max\{a_1,a_2,...,a_k\}=k\cdot a_r^n](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En+%5Cleq+k%5Ccdot+%5Cmax%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C...%2Ca_k%5C%7D%3Dk%5Ccdot+a_r%5En)
Следовательно,
![\displaystyle \sqrt[n]{a_r^n} \leq \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n } \leq \sqrt[n]{k\cdot a_r^n}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_r%5En%7D++%5Cleq++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En+%7D+%5Cleq++%5Csqrt%5Bn%5D%7Bk%5Ccdot+a_r%5En%7D+)
То есть,
![a_r \leq \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n} \leq \sqrt[n]{k} \cdot a_r](https://tex.z-dn.net/?f=a_r+%5Cleq++%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En%7D++%5Cleq++%5Csqrt%5Bn%5D%7Bk%7D+%5Ccdot+a_r)
Из
Леммы 1 следует:
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( \sqrt[n]{k}\cdot a_r )=a_r\cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{k}=a_r](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%28+%5Csqrt%5Bn%5D%7Bk%7D%5Ccdot+a_r+%29%3Da_r%5Ccdot++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7Bk%7D%3Da_r+)
Откуда при помощи теоремы о двух милиционерах получаем,
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}=a_r=\max\{a_1,a_2,...,a_k\}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5En%2Ba_2%5En%2B...%2Ba_k%5En%7D%3Da_r%3D%5Cmax%5C%7Ba_1%2Ca_2%2C...%2Ca_k%5C%7D)
Ч.Т.Д.
Теперь с легкостью находим нужный нам предел:
![\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n}=\max\{2,3\} =3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Clim_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Csqrt%5Bn%5D%7B2%5En%2B3%5En%7D%3D%5Cmax%5C%7B2%2C3%5C%7D+%3D3)
![\tt\displaystyle\frac{tg(90 + \alpha)\cdot sin(180 + \alpha)}{cos^2(180 - \alpha)}=\frac{-ctg(\alpha)\cdot(-sin(\alpha))}{cos^2(\alpha)}=\frac{\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}\cdot sin(\alpha)}{cos^2(\alpha)}=\\\\\\=\frac{cos(\alpha)}{cos^2(\alpha)}=\frac{1}{cos(\alpha)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctt%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Btg%2890%20%2B%20%5Calpha%29%5Ccdot%20sin%28180%20%2B%20%5Calpha%29%7D%7Bcos%5E2%28180%20-%20%5Calpha%29%7D%3D%5Cfrac%7B-ctg%28%5Calpha%29%5Ccdot%28-sin%28%5Calpha%29%29%7D%7Bcos%5E2%28%5Calpha%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bcos%28%5Calpha%29%7D%7Bsin%28%5Calpha%29%7D%5Ccdot%20sin%28%5Calpha%29%7D%7Bcos%5E2%28%5Calpha%29%7D%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bcos%28%5Calpha%29%7D%7Bcos%5E2%28%5Calpha%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%28%5Calpha%29%7D)
Использовались формулы приведения.
Sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb
cosa=√(1-sin^2a)=√(1-0,64)=√0,36=0,6
sinb=-√(1-0,36)=-√0,64=-0,8
sin(a-b)=0,8•(-0,6)-0,6•(-0,8)=
-0,48+0,48=0
a-b=0
a=b
ОДЗ
5x+1≥0⇒5x≥-1⇒x≥-0,2
Возведем в квадрат обе части
5x+1≥121
5x≥120
x≥24
x∈[24;∞)
18,2*8,1+23,8*5,1-18,2*7,6-23,8*4,6=18,2*(8,1-7,6)+23,8*(5,1-4,6)=18,2*0,5+23,8*0,5=0,5*(18,2+23,8)=0,5*42=21