Question

предел последовательности

Answer 1

Докажем более общее утверждение, откуда и получим нужный результат.

Вначале для удобства докажем лемму:

Лемма 1: 

Для всех $a\ \textgreater \ 0$, $\displaystyle \lim _{n\to \infty} \sqrt[n]{a} =1$.

Доказательство:

Предположим поначалу что $a \geq 1$. Обозначим $a_n= \sqrt[n]{a} -1$ и докажем что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0$. 

Используя неравенство Бернулли получаем,

$\displaystyle a=(1+a_n)^n \geq 1+na_n\ \textgreater \ na_n$ (для всех $n\in \mathbb N$)

Следовательно,

$\displaystyle 0 \leq a_n \ \textless \ \frac{a}{n}$

Откуда из теоремы о двух милиционерах выводим,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =0$

Следовательно,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} (1+a_n )=1+ \lim_{n \to \infty} a_n =1$

Что и требовалось.  

Осталось доказать лемму для $0\ \textless \ a\ \textless \ 1$.
Так как $\displaystyle 1/a\ \textgreater \ 1$, мы можем воспользоваться уже тем что доказали ранее:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{a} } = 1$

Откуда получаем,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } } = \frac{1}{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{a} } } = \frac{1}{1}=1$

Ч.Т.Д.

Утверждение: 

Пусть $\displaystyle a_1,a_2,...,a_k \geq 0$, тогда 

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n} =\max \{a_1,a_2,...,a_k\}$

Доказательство:

Пусть $1 \leq r \leq k$ число выполняющее  $a_r=\max\{a_1,a_2,a_3,...,a_k\}$.

Для всех $n\in \mathbb N$ выполняется,

$a_{1}^n+a_2^n+...+a_k^n \geq a_r^n$

А также,

$a_1^n+a_2^n+...+a_k^n \leq k\cdot \max\{a_1,a_2,...,a_k\}=k\cdot a_r^n$

Следовательно,

$\displaystyle \sqrt[n]{a_r^n} \leq \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n } \leq \sqrt[n]{k\cdot a_r^n}$

То есть,

$a_r \leq \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n} \leq \sqrt[n]{k} \cdot a_r$

Из Леммы 1 следует:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( \sqrt[n]{k}\cdot a_r )=a_r\cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{k}=a_r$

Откуда при помощи теоремы о двух милиционерах получаем,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}=a_r=\max\{a_1,a_2,...,a_k\}$

Ч.Т.Д.

Теперь с легкостью находим нужный нам предел:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n}=\max\{2,3\} =3$