Школьная задача "Как провести линию"?
Здесь любят давать задачи на построение. Добавлю и я свои «пять копеек». Школьная задача на построение циркулем и линейкой. «Через точку, находящуюся внутри, угла проведите прямую так, что бы её отрезок, отсекаемый сторонами угла, делился этой точкой пополам». Т.е. должно получиться что-то вроде этого.
12 ответов:
Еще немного поломала голову. Может такой способ решения второй задачи подойдет?
Чертим угол с вершиной А. Ставим произвольно точку М внутри угла. Иглу циркуля фиксируем в точке М, а карандаш циркуля ставим к верхней стороне угла, чертим окружность. На пересечении окружности с нижней стороной угла отмечаем точку В. Проводим луч через точки В и М до пересечения с верхней стороной угла. СМ = МВ = радиус.
Как вариант:
- представим, что точка К - середина будущей стороны АВ будущего треугольника АВО. точка О - известная вершина будущего треугольника АВО. точка А и точка В - искомые вершины будущего треугольника АВО;
- отрезок, проведённый через середину одной из сторон треугольника (АВ) параллельно другой стороне (ВО), делит третью сторону (АО) пополам;
- то есть точка К - середина АВ, через точку К проводим прямую, параллельную лучу "в" (стороне ВО);
- эта параллельная прямая делит третью сторону (АО) треугольника пополам (точка М);
- находим точку А, отмеряя на луче "а" отрезок АМ равный отрезку МО;
- чертим прямую, проходящую через точку К и точку А и получаем точку В.
Искомый отрезок АВ найден. Точка К делит этот отрезок пополам.
Можно выполнить эту задачу через построение параллелограмма.
"У параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам".
- нам дан угол, образованный лучами а и в, исходящих из точки О;
- также дана точка К принадлежащая данному углу;
- строим ещё один луч, который начинается в точке О и проходит через точку К;
- на луче ОК отмеряем отрезок КМ равный отрезку ОК;
- через точку М строим прямые, параллельные лучу а и лучу в;
- получаем параллелограмм ВМАО с диагоналями МО и ВА, которые пересекаются в точке К;
- ВК=КА;
- точки В и А - искомые точки пересечения со сторонами данного угла.
В школе на уроках мы с учителем (чтобы было быстрее) делали подобные построения немного проще:
- через точку К, принадлежащую углу, проводили линию, перпендикулярную любой стороне угла (у нас точка М);
- на этой прямой откладываем отрезок КС, равный отрезку КМ;
- через точку С проводим линию, параллельную лучу а;
- эта параллельная пересечётся с другим лучём угла (у нас луч d) в точке А;
- проводим прямую через точки А и К до пересечения с лучём а;
- точки А и В - искомые точки на сторонах данного угла.
Заранее прошу прощения, если объяснения получились не совсем понятными.
Путем логического мышления я(кажется) смогла решить и вторую задачу.
Внутри угла с вершиной А ставим произвольно точку М. Иглу циркуля фиксируем в точке М, а часть циркуля с карандашом соединяем с верхней стороной угла чертим окружность. На нижней стороне угла ставим точки в местах пересечения Е и С. Затем ставим иглу циркуля в точку Е и чертим вторую окружность такого же диаметра. На верхней стороне угла в пересечении ставим точку D. Проводим прямую через точки D, М, С. У нас получились равные отрезки: DМ = МС.
Дан угол с вершиной А, внутри угла ставим точку М внутри его. От вершины угла через точку М проводим прямую. С помощью циркуля отмеряем расстояние от А до М и полученное расстояние отмеряем на прямой от точки М на проведенной нами прямой, ставим точку В. С помощью линейки проводим прямую параллельную одной из сторон угла, отмечаем точку D на пересечении прямой со стороной угла. Проводим из точки В параллельную прямую другой стороне угла,отмечаем точку С на пересечении прямой со стороной угла. Проводим прямую от точки С до точки D через точку М.
СМ = МD.
Без линейки:
Чертим угол с вершиной А. Ставим точку D внутри его. Циркулем отмеряем расстояние от точки А до точки D (радиус). Циркулем из точки D чертим окружность, в местах пересечения окружности со сторонами угла отмечаем точки С и В.
МС = МВ.
Даю свой вариант решения, без доказательства, ибо моя голова пока не варит для его генерации. Решение, как гипотеза.
И так, пусть точка K внутри угла с вершиной в точке O. Построим из точки K перпендикуляры KA и KB на лучи угла. Отрезок OA перенесём на другой луч, получим OA2, точно так же поступим с отрезком OB, перенеся его, как OB2. Прямая A2B2 будет искомой прямой, точка K поделит A2B2 на два равных отрезка KA2 и KB2.
Почему? Мне интуитивно ясно, что вращая A2B2 вокруг точки K, мы будем получать отрезки KA2 и KB2 разной длины. При этом, вращая A2B2 по часовой стрелке, мы будем уменьшать KA2 и увеличивать KB2. Вращая в обратную сторону - будем получать наоборот. И только, когда OA2 и OB2 станут обратно пропорциональны длинам от точки K к лучам угла, наступит равенство KA2 и KB2.
Может, я и не прав, не настаиваю. Просто гипотеза.
Замечание о циркульной задаче.
Имеем угол АБВ и точку Г. Чтобы решить задачу, нам нужно найти хотя бы одну из точек, Г1, или Г2. Обе они лежат на окружности Б1Г1В2Г2 с центром Г.
Как это сделать? Пока не ясно.
У нас изначально есть всего две точки А и Г. Единственное, что можно сделать циркулем, это провести две окружности радиусом АГ. Одну из центра Г, другую из центра А.
Получим несколько новых точек В, Б, А1, А2, В1, Б2. И что с ними делать далее?
Если подсмотрим в ответ, то можно заметить, что нужная нам окружность Б1Г1Г2 расположена концентрически внутри окружности АБВ. Как это использовать? Какие ещё построения можно сделать? Кто знает, кто подскажет?
Господа, а задачка-то 'сакральная'. Вот, что мне тут пришло в голову (это не решение задачи, ибо её уже решили другие, а некий её анализ). Чтобы при описании не переключать раскладку клавиатуры, буду точки (вопреки традиции) именовать русскими буквами, уж не обессудьте, но лень.
И так. Имеем исходный угол АБВ и исходную точку Г. Пусть прямая БД есть найденное (не важно как) решение. Тогда в треугольнике АБД прямая АГ будет медианой.
И тут меня 'осеняет'. А ведь можно построить зеркально другой треугольник - ВАБ с таким же углом В, как и угол А. И для этого угла и той же точки Г будет тоже самое решение - прямая БД (в треугольнике ВБД прямая ВГ будет тоже медианой). Но точка Г для этого треугольника расположена совершенно иначе, чем было бы при полном зеркально отображении (для контраста я показал на рисунке эту точку Г2 и решение - прямую БД2). Что всё означает? Не постигаю сути.
А теперь я попробовал отложить полностью зеркально угол БВД влево (с листочком не рассчитал, пришлось подкладывать другой листочек, и стыковки там немного 'подгуляли', но не суть). И так, получился новый угол В2ДБ3, точка Г переехала для такой диспозиции в точку Г3, а решением уже будет прямая ДД3.
Жуть какая-то... Угложуть... Может, кто скажет, что тут так, а что не так?
Задача решается очень просто и действительно линейка здесь нужна только для проведения линии:
Ставим острие циркуля в точку (красная точка на рис) и проводим окружность такого диаметра, чтобы она имела точку пересечения со стороной угла (зелёная точка на рис). На другой стороне угла окружность так же будет иметь точку касания. Теперь всё что нам нужно - взять линейку провести прямую через эти точки. Исходная точка будет серединой отрезка
Читайте также