Нам необходимо найти радиус вписанной в тетраэдр сферы, который определяется как отношение утроенного объема тетраэдра к площади полной его поверхности, то есть
Для начала найдем боковые ребра а, b и с.
Согласно условию
{ab/2 = 270;
{bc/2 = 360;
{ас/2 = 600.
Разделив первое уравнение на второе, получим
а = 0,75с.
Подставив данное выражение в третье уравнение, получаем
с = 40, тогда
а = 0,75*40 = 30,
b = 360*2/40 = 18.
Объем пирамиды можно вычислить, умножив треть высоты на площадь основания. Поскольку по условию углы при вершине прямые,
Vпир = 30*360/3 = 18*600/3 = 40*270/3 = 3600.
Используя т. Пифагора, можно легко найти стороны треугольника, являющегося основанием тэтраэдра:
√(18² + 30²) = √1224,
√(18² + 40²) = √1924,
√(40² + 30²) = 50.
Зная стороны треугольника, можно вычислить его площадь по ф. Герона.
где а, b, c - стороны тр-ка, а р - его полупериметр.
И в нашей задаче площадь основания получилась равной 750.
Тогда Sполн = (270 + 360 + 600 + 750) = 1980, а искомый радиус
R = 3*3600/1980 = 60/11 = 5,(45).
