Question

Стереометрия. Чему равна площадь грани?

Площадь основания четырехугольной пирамиды равна 7. Две противоположные боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Две другие противоположные грани наклонены к плоскости основания под углами arccos ⅗ и arccos ⅘, а площадь одной из них равна 15.

Чему равна площадь площадь второй грани из этой пары?

Answer 1

Получаются такие уравнения при проекции противоположных граней на основание

(проекции перпендикулярных основанию граней равны нулю):

15*(4/5)-x*(2/5)=7 и x*(4/5)-15*(2/5)=7

Решениями являются числа 12,5 и 18,75

Answer 2

Без живого чертежа видимо не разобраться. Передний угол наклона - arccos(12/13), на заднем плане угол больше - arccos(3/5)

Составляем уравнение проекций площадей

x*cos(arccos(12/13))­<wbr />-25*arccos(3/5)=33, 12x/13-15=33, 12x/13=48, x=52

Другой случай 25*12/13-3x/5=33 приводит к отрицательному результату

Answer 3

По поводу второго располажения граней. Чтобы сумма проекций боковых граней была равна площади основания, можно например построить такую четырёхгранную пирамиду с двумя противоположными гранями, перпендикулярными основанию

В первой задаче, кстати, этого варианта расположения граней нет, т.к. проекция одной наклонной грани 15 на основание всегда оказывается больше основания 7

Answer 4

//Непонятный чертеж

А что тут непонятного. Поверну другой стороной

Противоположные грани AED и BCE перпендикулярны плоскости основания.

Противоположные грани AEB и CED - наклонные. AHB и DHC -проекции наклонных граней на основание. В сумме составляют всё основание. Вот только условие первой задачи под такое расположение граней не подходит, т.к. есть проекция, которая больше основания. Вершина пирамиды заведомо проецируется за основанием