Question

При каком фазовом угле Венера видна наиболее ярко?

Пусть расстояние Венеры от Солнца 108 миллионов км, Земли — 150 миллионов км. Планеты вращаются по круговым орбитам в одной плоскости. Следует математически обосновать и вычислить фазовый угол, при котором Венера с Земли видна наиболее ярко.

На фото: Венера и Луна.

Answer 1

Самую яркую планету Венера хорошо видно, когда она находится правее Солнца (западная элонгация) и когда она слева от Солнца (восточная элонгация). При приближении к Солнцу, и особенно в период соединения с ним, планету, вращающуюся по внутренней орбите относительно Земли, невооружённым глазом не видно из-за света звезды.

В прямоугольном треугольнике Земля-Венера-Солнце расстояние между Солнцем и Землёй — гипотенуза, между Солцем и Венерой — катет.

Приняв фазовый угол за а, воспользуемся формулой синуса для его нахождения:

sin (а) = 108 / 150 = 0,72. Следовательно, угол а = arcsin (0,72) = 46°.

Answer 2

Сайты для любителей астрономии говорят, что блеск Венеры наиболее яркий вблизи максимальной элонгации, но не в самих точках максимальной элонгации. Иначе бы задача лишась смысла, потому что тогда фазовый угол (между направлениями от планеты на Солнце и Землю) представляет собой перпендикуляр, опущенный от Солнца, на линию от Земли - касательную к орбите Венеры, т. е. 90°.

Так после прохождения восточной элонгации планета продолжает приближаться к Земле и её яркость увеличивается по мере сокращения расстояния. Но одновременно уменьшается её серп, т. е. фаза, которая измеряется отношением площади освещённой части видимого диска ко всей его площади. После точки максимальной элонгации она уменьшается с 0.5 до 0.

Обозначим площадь диска как S, его радиус - R, а толщину серпа - d. Терминатор Венеры представляет собой половину эллипса, имеющего большую полуось R и малую полуось (R – d).

Площадь этого эллипса равна

Sэ = Pi x R x (R – d).

Тогда площадь освещенного серпа составит

Sс = (S - Sэ)/2 = Pi x R x d / 2 = Pi x R^2 x d / 2R.

Отношение d / 2R есть фаза, обозначим её как F.

Sс = Pi x R^2 x F = S x F.

Связь между фазой Ф и фазовым углом Y определяется формулой:

F = cos^2 (Y/2)

Sс = S x cos^2 (Y/2)

Яркость планеты (её серпа) определяется отражательными свойствами ее поверхности (или облачного слоя), расстояниями от Солнца и Земли, а также тем, как наблюдается с Земли дневная сторона планеты обращенная к Солнцу определяется по формуле:

где Isun - поток энергии от Солнца вблизи Земли,

А - коэффициента отражения поверхности,

d - расстояние между Землёй и Венерой.

Isun, А и S можно считать постоянными величинами, изменение яркости зависит от соотношения cos^2 (Y/2) / d^2 или cos (Y/2) / d.

В треугольнике «Солнце-Венера-Земля» нам известны две стороны и угол, не лежащий между ними Y. Запишем выражение теоремы косинусов:

Это квадратное уравнение имеет один положительный корень:

При построении графика функции получилась следующая кривая:

Экстрим приходится на Y = 0.65 Pi = 117°.

<hr />

Проверим значение этой величины:

F = cos^2 (Y/2) = cos^2 (117°/2) = 0,27.

Что неплохо согласуется с учётом приблизительных значений и допущений с монографией "Поверхностные яркости небесных объектов"

Answer 3

На рисунке BE - линия терминатора. AF - касательная к поверхности.

Расстояние от Земли до Венеры, если задан угол ВСА, находим через теорему косинусов

AB=sqrt( BC^2 + AC^2 - 2 BC AC cos(BCA) )

Угол CBA можно тоже через теорему косинусов

CBA = arccos( (AC^2 - BC^2 - AB^2)/(- 2* AB* BC) )

Угол EBA = CBA - pi

Угол ABF = arccos(R / AB), где R - радиус Венеры, который равен 6051,8 км.

Угол FBE = ABF - EBA (если я правильно понимаю, то это и есть фазовый угол)

Площадь видимого с Земли освещённого участка S = 2 * FBE * R^2

Излучение пропорционально этой площади и обратно пропорционально AB^2

Искать производную от всех этих наворотов не хотелось, посчитал на компьютере.

Максимум светимости пришёлся на FBE=46,7 градуса.

При этом расстояние до Земли было 53,7 млн. км

С реалиями из википедии (я ей верю на эту тему) не очень совпадает, но может быть не всё учтено.

Answer 4

Это третий по яркости объект на небе Земли, после Солнца и Луны. Планета достигает видимой звёздной величины −4,6m, так что её яркости достаточно, чтобы отбрасывать тени ночью. Изредка Венера видна невооружённым глазом и в светлое время суток.Среднее расстояние Венеры от Солнца — 108 млн км Расстояние от Венеры до Земли меняется в пределах от 38 до 261 млн км. Её орбита очень близка к круговой — эксцентриситет составляет всего 0,0067. Период обращения вокруг Солнца равен 224,7 земных суток; средняя орбитальная скорость — 35 км/с. Наклон орбиты к плоскости эклиптики равен 3,4°. По размерам Венера довольно близка к Земле. Поскольку Венера ближе к Солнцу, чем Земля, она никогда не удаляется от Солнца более чем на 47,8° . Поэтому обычно Венера видна незадолго до восхода или через некоторое время после захода Солнца.